Recherches sur queloues fonctions numériques. 31 



Ponr établir cette formule il suffira d'intégrer, à la manière indiquée dans les n"' pré- 

 cédents, l'identité 



(l_a;2~-l)2 -»-•••• 



qu'on obtient en sommant les colonnes verticales dans les développements 



X -k- X* зс' -I- . . . . 



2x'X 2x^-x^ -^2x'^'x''-*- 



Sx-x"-*- гх'-х'^ -к- 3a;^-x'°-i- 



En effet, comme on a 



х{\-^2хч-гх'-^ ....) = 

 œ\} -^2х'^гх' ^ ....) = 

 x\l-^2x'^3x''^....)= 



on en déduit de suite l'identité en question. 



13. Nous terminerons ces recherches en appliquant quelques unes des formules pré- 

 cédentes à une question qui se rapporte à la détermination du nombre de représentations 

 d'un entier par le terme général d'une progression arithmétique à deux arguments. C'est 

 ainsi que nous appelerons l'expression 



(ßX-t-a)ix -»- ß'X -+- a , 



a, ß, a, ß' désignant des entiers donnés, positifs, négatifs ou nuls, et X, jx deux va- 

 riables numériques entières et positives, zéro y compris. Il est visible qu'en donnant à X 

 les valeurs successives 0, 1, 2, 3...., on obtiendra les termes généraux d'une suite de pro- 

 gressions arithmétiques ordinaires, nommément: 



a\i. -+- a 

 (ß-i-a)[i. ß'n- a 

 (2ß-Ha)iJLH- 2ß'-i-a 

 (3ßH-a)ii.-»- 3ß'-i-a' 



X 2x^ Sx* nx*^ 



in^S l-x^n-Hl — 



X X* x^ 



X 



l—x' 

 1— ж' 



