Recherches sur quelques fonctions numériques. 



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on en conclura immédiatement, eu égard à ce que nous venons de voir, que les valeurs 

 successives de jx, précédemment trouvées, ont une relation très simple avec les divi- 

 seurs de 2n~ 1, que nous représenterons par 1, , d^, d^.... D =. 2n — 1. Soient jx, , [jl^ , 

 [jLg, [1.^.... les valeurs correspondantes de jjl ; on aura évidemment 



21^1- 



1 



= 1 , 



d'où 



И-1 







1 





d'où 





2 



2[Хз — 



1 





d'où 







Ainsi, comme dans l'exemple précédent 2n — 1 = 45 — 3^-5, et par conséquent 

 d._,= 5, d3=9, d,-lô, D=Vö, 



к 15-1-1 о 45-t-l „„ 



Prenons encore la formule (41), à laquelle nous pouvons donner la forme 



n==o X=co [Л=оо 



«=1 X=l fx=i 



Cette identité montre que le nombre de solutions de l'équation indéterminée 



2\]}. — n , 



augmenté du double de celles de cette autre 



2l]i. — l = n , 



sera exprimé par la fonction numérique N{2n); il est d'ailleurs visible qne X et , dans 

 chacune de ces deux équations, sont des variables numériques distinctes. Ainsi, pour n-- 8, 

 le nombre de ces solutions sera égal à iV(16)= 5, ce qu'on peut vérifier directement; en 

 effet, l'équation 



2V 8 



donne les trois solutions 



X = 1, 2, 4 

 H- = 4, 2, 1, 



et l'équation 



2X[t — X 8 , 



Mémoires de l'Acad. Imp. des sciences. Vll-me Série. 5 



d, = 3, 

 on aura sur le champ 



9-bl 



Ч X 



2L( 



•хГр 



(2Xhi)p] ' 



