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V. BOUNIAKOWSKT, 



la solution unique X = 8 , [i. = 1 ; cette unité étant doublée et ajoutée à «rois, reproduit le 

 nombre N{\6)= 5. 



Reprenons le cas général, et cherchons la liaison qui subsiste entre le nombre de so- 

 lutions de l'équation (55) et le nombre de diviseurs, de formes déterminées, d'un entier 

 qu'il s'agira de trouver. Cette question se résout d'une manière très simple; en effet, si 

 l'on multiplie l'équation proposée 



(ßX-i-a)iJ. -I- ß л -b a' = n 



par ß, et que Ton ajoute au résultat la différence aß' — a'ß, on trouvera 



ß(ßX-Ha)ix -H ßß'X -t- aß н- aß' — a'ß = (ßX-t-a)(ßpL-4-ß') = ß« -н aß' — a'ß. (56) 



Cette dernière égalité montre que le nombre de solutions de l'équation indéterminée (55) 

 est égal au nombre de décompositions de l'entier 



ßn -+- aß' — a'ß 



eu deux facteurs, dont l'un de la forme ßX-i-a , et l'autre de la forme ß^xn-ß', en comptant 

 pour deux solutions distinctes le cas où le premier facteur serait égal au second dans un 

 autre système, et réciproquement. 



Prenons pour exemple l'équation indéterminée 



(3Xh-1)ix-»-2X— 1 = 45; 



en substituant successivement pour X les valeurs 0, 1, 2, 3..,., et ne conservant que celles 

 qui donnent pour ^ des valeurs entières, on trouve ces six solutions ou systèmes : 



X = 0, 1, 2, 3, 9, 23 

 = 46 , 11 , 6, 4, 1 , 0. 



D'un autre côté, si l'on forme l'équation (56) qui, à cause de a= 1, ß= 3, a = — 1, 

 ß'= 2, se réduit à 



(ЗХ-і-1)(Зі>.-ь2) = 140, 



on sera conduit à chercher le nombre de décompositions de l'entier 140 en deux facteurs, 

 dont l'un soit de la forme ЗХн- ], et l'autre de la forme Зіх-ь 2. Avec ces conditions on 

 trouve : 



140 = 



1- 



140 



140 = 



4- 



35 



140 = 



7- 



20 



140 = 



10- 



14 



140 = 



28- 



5 



140 = 



70. 



2. 



