Recherches sur quelques fonctions numériques. 35 



Ces six décompositions ramènent immédiatement aux six systèmes de valeurs pour X et [л, 

 rapportées plus haut, et réciproquement: les six systèmes donnent de suite les six dé- 

 compositions du nombre 140 en produit de deux facteurs, dont chacun aura la forme 

 exigée. 



Si l'on rapproche avec quelque attention ce que nous venons de dire, on verra qu'en 

 désignant par «(D) le nombre de représentations de l'entier D par un produit de la forme 



(ßXH-a)(ßt.H-ß'), 



on aura la formule générale 



n? ^ [(3X-f-a)[x-(-ß'X-i-a']P ' 



fx^f^Q X=Xo 



(57) 



les limites inférieures Xq et [Ло étant prises de façon à ce que la somme (ßX-f-a)n-Hß'X-Ha' 

 ne se réduise ni à zéro, ni à une quantité négative, pouvant être d'ailleurs différent pour 

 différentes valeurs de X. 



En appliquant cette formule aux valeurs a=l, ß = 3, a'= — l,ß'=:2 de l'exemple 

 précédent, on trouvera 



nP ^ ^ [(3X-f-l)fjL-i-2X— 1]P ' 



et en développant 



w(8) ы(11) ы(14) (3(17) м(20) м(23) м(26) (0(29) ы(32) ы(35) 



Лр" "2Р~ "W ~ьГ "бГ ~*~ Тр " ~8Р" ~9Р~ "*~ ~wf — 



2^ 1 3 2 



— ÏP 2Р ЗР 4P ~^ 5Р 6Р TP"*" 8Р ~*~ 9Р 10Р ♦ 



résultat facile à vérifier directement. 



Dans ce Mémoire nous n'avons considéré que des séries dont les dénominateurs étaient 

 exprimés par la même puissance des termes successifs d'une progression arithmétique à un 

 et à deux arguments. En prenant pour ces dénominateurs des puissances d'autres fonctions 

 des variables numériques, on serait conduit à de nouveaux résultats. Nous nous réservons 

 de revenir dans la suite sur ce sujet. 



