ANALYTISCHER AUSDRUCK. 15 



Falle angehörende Element liefert also in beiden Gliedern eines Paares gleich 

 viele Factoren — 1. Jedes dem zweiten Falle angehörende Element lie- 

 fert den Factor — 1 in ungleicher aber sich nur um eine gerade Zahl un- 

 terscheidender Anzahl für die beiden Glieder. Es bleibt daher nur noch 

 die Stellung von E, 7 zu E, , und die von E, 7 zu E, , in Betracht 



° hpkq «cp«^ hykq hpk^ 



zu ziehen , diese beiden sind aber einander entgegengesetzt und daher lie- 

 fert die Vorzeichenbestimmung für die beiden Glieder eines Paares das 

 einander Entgegengesetzte. 



Ist nun für zwei beliebig bestimmte q und >\> und für jedes 

 <p = 1 , 2, 3, . n immer 



hp kq hp k<jj 



so annuiirt sich jedes zuvor angegebene Gliederpaar. Die Determi- 

 nante verschwindet also, wenn die entsprechenden Elemente zweier Spal- 

 ten einander gleich werden, ebenso wenn die entsprechenden Elemente 

 zweier Zeilen einander gleich werden. Wir können dieses auch in dem 

 Satze aussprechen : 



Die Ausdrücke auf den zweiten Seiten der obigen Gleichungen [4], [5], [6] 

 stellen den richtigen Werth der Determinante auch dann dar, wenn unter den 

 Indices h l , h z . -. h sich gleiche befinden, ebenso wenn einige der k t , k 2 . . k n 

 einander gleich werden. 



Oder in Formel ausgedrückt : Es wird 



■T • ' ' " B'(* lf h 2 , . . hjk,, . . k n ) = 0 [7] 



sowohl wenn in der Reihe der ä , h 0 , . . h oder in der Reihe der k., k 0 , . . k 

 gleiche Werthe auftreten, als auch wenn für zwei beliebig bestimmte p und cp 



E, 7 = E, z , für q == 1, 2, . . n, 

 h p k q hyk q ' J i 



oder wenn für zwei beliebig bestimmte q und 



E, , = E, , , für »==1, 2, . . n, ist. 



h p kq hpk^' J r 



Mit Hülfe der Gleichungen [4] , [5] , [6] kann man , wenn man statt 

 der beiden Werthensysteme Ä,.; h 2 , . . h n und k t , k 2 , . . k n zwei andere 



