24 ERNST SCHERING, 



erfüllt ist, worin also x,, ;r„ zwei beliebig bestimmte der k'. k„ . . k be- 

 deuten. Auf gleiche Weise, wie man hier das Nullwerden der Determi- 

 nante bei der Gleichheit der in zwei Spalten auftretenden einander ent- 

 sprechenden Elemente erkennt, schliesst man auch aus der für v == 2 

 durchgeführten Entwickelung der Formel [14], dass die Determinante ver- 

 schwindet, wenn die entsprechenden Elemente zweier Zeilen einander 

 gleich werden. 



Mit Hülfe dieses Satzes kann man ebenso, wie es in Artikel III mit 

 den Gleichungen [4], [5], [6] ausgeführt ist, die verallgemeinerten Umkeh- 

 rungen der Formeln [13] bis [16] aufstellen, und erhält den Lehrsatz: 



Nimmt man in den Gleichungen [13] und [14] den Factor 



3 "ff n* (ä 6 -a 8 ) (* 4 -* 6 ) 



6 = 2 6 = 1 



von der zweiten Seite fort und fügt ihn auf der ersten Seite hinzu, so erhält 

 man zwei Gleichungen [13 # ] und [14 # ], deren Gültigkeit nicht, wie [13] und [14] 

 die Bedingung, dass die Werthe der T] 2 , . . t\ abgesehen von der Rei- 

 henfolge mit h x , h 2 , . . h übereinstimmen, erfordert, sondern nur voraus- 

 setzt, dass Tj t , >] 2 , . . y\ keine andere Werthe haben als solche, welche in der 

 Reihe h t , h %i . . h vorkommen, dass also auch beliebig viele der rrj 1 , . . r\ n ein- 

 ander gleich sein können. 



Nimmt man in den Gleichungen [15], [16], [17] den Factor 



b=n 6=&—i 



3ii n (h b -h t ) [k b -k & ] { h - h ) 



b—% 6=1 



von der zweiten Seite fort und fügt ihn auf der ersten Seite hinzu, so erhält 

 man drei Gleichungen [15*], [16*], [17 # ], deren Gültigkeit nicht, wie [15], [16], 

 [17], die Bedingung, dass die Werthe der x,, x 2 , . : . x B abgesehen von der 

 Reihenfolge mit k x , k 2 , . . k n übereinstimmen, erfordert, sondern nur vor- 

 aussetzt, dass x , x„, . . x keine andere Werthe haben als solche, welche in 

 der Reihe k x , k 2 , . . k vorkommen, dass also auch beliebig viele der x 4 , x 2 ,..x^ 

 einander gleich sein können. 



