32 ERNST SCHERING, 



Eine Reihe mit dieser Eigenschaft wollen wir einen Cyclus von Wer- 

 then- oder Indices - Paaren nennen. 



Ist in jener Reihe p die kleinste Zahl, welche das zugehörige x v , 



gleich einem Tk für y<p werden lässt, so mag der Cyclus ein einfacher 

 heissen im Gegensatze zu einem zusammengesetzten. 



Die Zahl p gibt an, aus wie viel Werthen -Paaren der Cyclus besteht 

 und wird zur Abkürzung die Ordnungs-Zahl des Cyclus genannt werden. 



Den Fall, dass t] x = x x in (Tj x , xj wird, können wir als hierin be- 

 griffen denken und wollen solches (t] x , x x ) als einen eingliedrigen Cyclus 

 oder als einen Cyclus von der Ordnung 1 ansehen. Unter Voraussetzung 

 dieser Bezeichnungsweise ergibt sich leicht der Lehrsatz : 



Ein System von Werthen - Paaren 



[41] to,. *j x 2 ) • • • (v <) 



worin die rj , , tj 2 , • • \ unter sich verschieden und abgesehen von der Reihen- 

 folge den x t , x 2 , . . x w gleich sind, bildet entweder einen einzigen einfachen 

 Cyclus oder besteht aus mehreren einfachen Cyclen. 



Die Summe der Ordnungszahlen aller Cyclen des Systems [41] ist — n. 



Jedes Werthen-Paar gehört Einem einfachen Cyclus an. 



Betrachtet man die Reihenfolge in den Werthen- Paaren als unwe- 

 sentlich, so kann man auch sagen: Das System [41] kann wesentlich nur 

 auf Eine Weise in einfache Cyclen zerlegt werden. 



Zwei Indices - Paare 



[42] {\, x x ) und \, \) für welche \ = * x , \ = tj x 



ist, bilden einen Cyclus zweiter Ordnung. Das eine dieser beiden Indices- 

 Paare wollen wir die Umkehrung des anderen nennen. 



Das zuvor für die beiden Ausdrücke [3 5] und [37] mit der Voraus- 

 setzung [38] gewonnene Resultat lässt sich hiernach auch so aussprechen: 



Werden in dem Determinanten- Gliede 



i=n m=n \x=m — 1 



[43] n e x3n n (t] -i] h* — xj 



