[JMKEHRUNG DER INDICES -PAARE. 

 die n Indices - Paare 



33 



umgekehrt, so entsteht nur dann ein jenem Gliede algebraisch gleicher Aus- 

 druck also wieder dasselbe Determinanten- Glied , wenn keiner der [in der 

 Reihe der Indices - Paare [44] vorkommenden Cyclen eine die 2 übertreffende 

 Ordnung hat. 



Es entsteht aber ein von jenem Gliede [4 31 algebraisch verschiedener 

 Ausdruck also ein anderes Determinanten- Glied , wenn wenigstens eine jener 

 Ordnungszahlen grösser als 2 ist. 



Mit Hülfe dieses Satzes lassen sich die Glieder einer Determinante, 

 deren n.n Elemente für jedes X und x die Bedingung 



[45] + E ,X = 0 als0 E U=° 



erfüllen , erheblich zusammenziehen. 



Jedes Glied, welches in der Reihe seiner Indices-Paare einen ein- 

 fachen Cyclus erster Ordnung enthält, verschwindet in Folge der Vor- 

 aussetzung E^ ^ == 0. 



Ist n ungerade so heben sich die übrigen Determinanten- Glieder 

 paarweise auf, nemlich immer zwei solche eigentliche Glieder, von denen 

 das eine aus dem anderen durch Umkehrung der Indices-Paare entsteht. 

 In der That haben die Vorzeichen- Producte in zwei solchen Gliedern 

 gleiche Werthe und nach Absonderung derselben als eines gemeinsamen 

 Factors, bleibt 



[461 E, . . . R +E , . . . E , 



worin die beiden Theile, weil n ungerade ist, sich gegenseitig in Folge 

 der Voraussetzung [4 5] annulliren. 



Ist n gerade , so entsteht durch die angegebene Umkehrung wieder 

 dasselbe Determinanten - Glied , wenn die Cyclen für dessen n Indices- 

 Paare [44] alle von der Ordnung 2 sind. Mit Hülfe der Gleichungen [44] 

 lässt sich ein solches Glied als vollständiges Quadrat darstellen. 

 Mathem. Classe. XXII. E 



