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Besteht aber für das Determinanten - Glied ein Cyclus von höherer als 

 der zweiten Ordnung, so ergibt jene Umkehrung ein neues Determinanten- 

 Glied, welches mit dem ursprünglichen nach Anwendung der zwischen 

 den Elementen vorausgesetzten Beziehung [45] gleichen absoluten Werth 

 erhält. 



Artikel VII. 



Umkehrung einzelner Cyclen. 



Werden nicht die sämmtlichen n Indices -Paare [44] umgekehrt, son- 

 dern nur einige derselben (vj, x) in (I), f) und soll das hierdurch aus dem 

 Determinanten- Gliede [35] gebildete neue [37] wieder ein eigentliches De- 

 terminanten-Glied sein, so dürfen keine der ersten Indices Ij unter sich und 

 keine der zweiten Indices f unter sich gleich werden. Dieses wird aber, 

 weil die Werthe der T] mit den Werthen der x abgesehen von der Reihen- 

 folge übereinstimmen [36], immer und nur dann erreicht, wenn die In- 

 dices-Paare eines oder mehrerer ganzer Cyclen umgekehrt worden sind. 



Um hierbei das Verhalten des Vorzeichenproductes in [3 5] zu unter- 

 suchen , zerlegen wir das ursprüngliche Product 



erstens in diejenigen Factoren-Paare (i\ a — T] a ) (x ß — x ), für welche die 

 entsprechenden Indices -Paare {y\ a , x ) und (rj a , xj beide umgekehrt wor- 

 den sind, 



zweitens in diejenigen Factoren-Paare (i\ b — r i)^j ) — x c )> deren je ein 

 Indices -Paar x^) umgekehrt worden ist, während das andere (r\ , x ) un- 

 geändert blieb, 



drittens in diejenigen Factoren-Paare (nj^ — rj £ ) (x — xj für welche 

 beide Indices-Paare (rj , xj und (r\ e , x g ) ungeändert geblieben sind. 



Durch die Umkehrung wechseln die beiden Factoren der ersten Art 

 nur ihre Plätze mit einander. In den Factoren der zweiten Art stimmt die 

 Reihe der Tj 6 mit der Reihe der x & abgesehen von der Anordnung zufolge 

 der Voraussetzung überein, ebenso auch T] e und die x^ weil die r\ b mit den 

 7\ ebenso wie die x, mit den x die ganze Reihe der h darstellen. Die 



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