UMKEHRUNG EINZELNER CYCLEN. 



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Factoren der dritten Art bleiben ganz ungeändert. Jeder der drei Theile 

 des Vorzeichen-Producies behält also seinen Werth bei. 



Dieser Satz ist auch als besonderer Fall in dem Lehrsatze enthalten, 

 welcher das Vorzeichen allein durch die Anzahl der Elemente und durch 

 die Anzahl der einfachen Cyclen bestimmt. 



Der hier bewiesene Satz zeigt, dass für eine Determinante, deren n.n 

 Elemente die Gleichungen [45] erfüllen, im allgemeinen, auch wenn n ge- 

 rade ist, gegenseitig sich aufhebende Glieder vorkommen. 



In der That bildet ein solches Determinanten -Glied [35], dessen n In- 

 dices-Paare u Cyclen mit ungeraden die Einheit übertreffenden Ordnungs- 

 Zahlen und ferner g Cyclen mit geraden die Zahl 2 übersteigenden Ord- 

 nungs-Zahlen enthält, in Vereinigung mit denjenigen eigentlichen Deter- 

 minanten -Gliedern , welche durch Umkehrung einer geraden Anzahl von 

 Indices-Paaren entstehen , im Ganzen 2 5, + M— 1 eigentliche denselben Werth 

 annehmende Determinanten -Glieder. 



Diesen Gliedern werden in Folge der zwischen den Elementen voraus- 

 gesetzten Beziehung diejenigen eigentlichen 2^ + " — 1 Determinanten- Glie- 

 der , welche aus jenem Gliede [35] durch Umkehrung einer ungeraden An- 

 zahl von Indices-Paaren entstehen, dem absoluten Werthe nach gleich aber 

 dem Vorzeichen nach entgegengesetzt, heben sich also mit jenen in der 

 Determinante auf. 



Für eine Determinante, in welcher jedes Element durch Umkehrung seines 

 Indices-Paares den entgegengesetzten Werth annimmt, bleiben allein solche 

 Glieder bestehen, deren Indices- Paare nur einfache Cyclen gerader Ordnung 

 enthalten. 



Artikel VIII. 



Halhirung der Cyclen. 



In einem einfachen Cyclus [39] haben die ersten Indices T] in einer 

 bestimmten Reihenfolge dieselben Werthe wie die zweiten Indices x, aber 

 die Ki unter sich verschiedene Werthe. 



Ist die Anzahl p der Werthen-Paare des Cyclus eine gerade Zahl , so 



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