36 ERNST SCHERING, 



haben bei der normalen Anordnung der Paare im Cyelus , das erste, das 

 dritte, das fünfte u. s. f. das p — 1 ste Paar zusammen auch unter den tj 

 und x keine gleiche Werthe. Ebenso haben das zweite , das vierte , u. s. f. 

 das p te Paar zusammen auch unter den tj und x keine 'gleiche Werthe. 



Die Paare auf den ungeradzahligen Plätzen haben für die tj und x 

 dieselben Werthe wie beziehungsweise die x und T] in den Paaren auf den 

 geradzahligen Plätzen. Deshalb wollen wir diese beiden Reihen von Paa- 

 ren die beiden Hälften des Cyelus nennen. 



Ein eigentliches Determinanten -Glied , dessen Indices-Paare nur ein- 

 fache Cyclen gerader Ordnung enthält , kann , durch Halbirung der Cyclen 

 in zwei Factoren zerlegt werden , deren jeder unter seinen sämmtlichen n 

 Indices r\ und x keine zwei gleichwertige enthält. 



Da in einer solchen Determinante die Anzahl n der Indices-Paare nur 

 eine gerade sein kann, so wollen wir 2v statt n setzen. Für das Deter- 

 minanten-Glied [35] erhalten wir hiernach auch die Form 



[47] n Eß 8 , y x 3 n {\-\) (t a -t a ) x 3 n n [i e -\f x 



<s a, a e e 



x n e ß t , y x 3 n \ - y (t b - 1 6 ) x 3 n n (f c - \ ? x 



t 6,6 c T 



a b 



worin jedes der a, a, a, e, s, o die Werthe 1, 2, 3, ... v und jedes der 

 t, b, 6, c, y, 6 die Werthe v-j-1, v-f-2, . . . 2v mit der Beschränkung 

 a~^>a, 6^>6 zu durchlaufen hat, und worin die Elemente mit E(fj, f) be- 

 zeichnet sind. 



In der That der Ausdruck [47] unterscheidet sich von jenem [3 5] nur 

 durch Hinzufügung der auf die reihenden Grössen e, e, c, y sich beziehen- 

 den Producte. 1 Diese Producte lassen den übrigen Theil des Ausdruckes 

 ungeändert, wenn bei der zuvor angegebenen Halbirung der von den (tj, x) 

 gebildeten Cyclen die Indices - Paare (fj, f) der einen Hälften in die erste 

 Zeile und die Indices-Paare (Ij, f) der anderen Hälften der Cyclen in die 

 zweite Zeile der Formel [47] gebracht sind. 



Dieselben Vorzeichen -Producte lassen aber den Ausdruck verschwin- 



