HALBIRÜNG DER CYCLEN. 



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den, wenn unter den f; und f der ersten Zeile oder unter den r) und f 

 der zweiten Zeile gleiche Werthe auftreten , welches aber nach Ausführung 

 der Halbirung der Cyclen nicht vorkommen kann. 



Umgekehrt folgt unmittelbar aus diesen Bemerkungen, dass, wenn 

 die 2v Grössen § wie die 2v Grössen f keine andere Werthe haben als 

 die 2v gegebenen Grössen h oder als die mit diesen identischen Je, auch 

 der Ausdruck [47] entweder verschwindet oder ein eigentliches Determi- 

 nanten-Glied mit Cyclen gerader Ordnung darstellt. 



Um die Cyclen zu bilden, sind nemlich die Indices-Paare abwech- 

 selnd aus der ersten und aus der zweiten Zeile in Formel [47] zu entneh- 

 men, weil für den Fall des Nichtverschwindens 



[48] |*,. • • W = |f v+1 , • - U [*!. • • = ■ ■ U 



wird. 



Die Summe aller Determinanten -Glieder , denen nur Cyclen gerader 

 Ordnung entsprechen, erhalten wir demnach, wenn wir die Ausdrücke 

 von der Form [47] für alle solche aus den h als "Werthen der rj und t ge- 

 bildeten Werthensysteme (r), f) summiren , welche algebraisch verschiedene 

 Ausdrücke [4 7] darstellen. 



Mit einem bestimmten Werthensysteme der Indices - Paare ergeben 

 alle diejenigen Werthensysteme, welche die Indices-Paare nur ihre Reihen- 

 folge vertauschen lassen, algebraisch gleiche Ausdrücke [4 7]. 



Die Versetzung der Reihenfolge kann zunächst dadurch geschehen, 

 dass eine der beiden Hälften eines Cyclus nach Belieben in die erste oder 

 die zweite Zeile der Formel [4 7] gebracht wird. Bezeichnet g die An- 

 zahl sämmtlicher Cyclen für das bestimmte Glied , so erhält man durch 

 diese verschiedenartige Bildung der beiden Factoren, nemlich in Formel [47] 

 der ersten und zweiten Zeile, zusammen 2^ algebraisch gleiche Ausdrücke. 

 Jeder der beiden Factoren, nemlich der beiden Zeilen in [47], kann nun 

 noch formal verschieden werden durch sämmtliche J7(v) Umstellungen 

 der Reihenfolge seiner v Indices-Paare (§, f). 



Im ganzen entstehen also 2 9 .7Z(v) .H(v) algebraisch gleich werthige 

 Ausdrücke und [49] 



