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oder verschiedenartigen Symmetrieelementen von einander unabhängig-, 

 also speciell in Betracht zu ziehen sind. 



In Bezuo- hierauf existirt eine Anzahl leicht zu beweisender Sätze. 



Für Symmetrieaxen allein die Folgenden : 



Sind zwei gleiche zweizählige Symmetrieaxen vorlianden so müssen 

 sie mit einander den Winkel 27^/3 , 211/4 oder 2tc/G einschliessen und es 

 existiren gleichzeitig mit ihnen noch 1 , 2 oder 4 gleiche Axen ^) , die 

 in derselben Ebene liegen und die gleichen Winkel mit den Nachbar- 

 axen einschliessen. Die Halbirungslinien dieser Winkel sind gleich- 

 falls unter sich gleiche, von den ersteren verschiedene zweizählige Sym- 

 metrieaxen, die Richtung normal zu ihrer Ebene ist eine zweiseitige 

 resp. 3, 4 oder Gzählige Symmetrieaxe. Dieser Satz lässt sich auch so 

 umkehren, dass die Existenz der zweiseitigen 3, 4 oder ßzähligen Sym- 

 metrieaxe die der zweizähligen Nebenaxen zur Folge hat. 



Mehrere gleiche dreizählige Symmetrieaxen sind nur in dem Falle 

 möglich , dass sie in die vier Eckdiagonalen des regulären Hexaeders 

 fallen; mit ihnen gleichzeitig treten dann drei vierzählige gleiche pa- 

 rallel den Kanten und sechs zweizählige gleiche parallel den Flächen- 

 diagonalen des Hexaeders auf. 



Mehrere gleiche vierzählige Symmetrieaxen treten nur zu drei auf 

 einander normal stehend auf, mit ihnen gleichzeitig die eben genann- 

 ten drei- und zweizähligen. 



Für Symmetrieebenen gilt ferner: 



Schneiden sich mehrere Symmetrieebenen in einer Geraden, so sind 

 sie entweder alle gleich oder ordnen sich in zwei Gruppen untereinan- 

 der gleicher, welche abwechselnd auftreten. Benachbarte Symmetrie- 

 ebenen schliessen dabei mit einander gleiche Winkel ein und die Ebe- 

 nen der einen Gruppe halbiren die von denjenigen der andern Gruppe 

 gebildeten Winkel. Die Schnittlinie ist wzählige Symmetrieaxe, wenn 

 n Symmetrieebenen sich in ihr schneiden. 



Ist ein Centrum der Symmetrie vorhanden, so folgt aus dem Vor- 



1) In den beiden letzten Fällen fallen je zwei Axen in entgegengesetzte Rich- 

 tungen und bilden zusammen eine zweiseitige Symmetrieaxe. 



