ÜBER FLÄCHENSTÜCKE KLEINSTEN FLÄCHENINHALTS. 3 



gäbe gestellt, für deren Bearbeitung Goldschmidt den ausgesetzten 

 Preis erhielt. In der gekrönten Preisschrift wird die durch Rotation 

 einer Kettenlinie um ihre Directrix als Axe entstehende Minimal- 

 fläche, welche nach einem von Plateau ausgegangenen Vorschlage den 

 Namen Catenoid erhalten hat, genauer untersucht. Insbesondere wird 

 die Frage erledigt, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit es möglich 

 sei, durch zwei Parallelkreise einer Rotationsfläche zwei von einander 

 verschiedene Catenoide zu legen, unter welchen Bedingungen durch 

 beide Kreise nur ein Catenoid, oder überhaupt kein Catenoid gelegt 

 werden kann. Auf diejenigen Fragen, deren Erörterung mit der Unter- 

 suchung des Vorzeichens der Werthe zusammenhängt, welche die zweite 

 Variation des Flächeninhalts einer von zwei Parallelkreisen begrenzten 

 Zone eines Catenoids annehmen kann, geht Goldschmidt nicht ein. 



Durch die Untersuchungen, auf welche im Vorstehenden hinge- 

 wiesen wurde, hat indessen die Frage nach der kleinsten Fläche, 

 die Frage nämlich, ob den gefundenen Flächen wirklich die Eigenschaft 

 zukommt, dass geeignet ausgewählte Stücke derselben, sei es unter 

 allen von derselben Randlinie begrenzten Flächenstücken überhaupt, sei 

 es unter allen von derselben Randlinie begrenzten Flächenstücken, welche 

 dem zu betrachtenden Flächenstücke hinreichend nahe liegen, den 

 kleinsten Flächeninhalt haben , eine erschöpfende Beantwortung nicht 

 gefunden. 



Der Grund hiervon liegt in dem Umstände, dass bei jeder Auf- 

 gabe der Variationsrechnung das Verschwinden der ersten Variation des 

 betrachteten Integrals zwar ein nothwendiges Erforderniss ist, wenn 

 der Werth dieses Integrals unter den vorgeschriebenen Grenzbedin- 

 gungen ein Minimum oder Maximum sein soll, dass aber ausserdem 

 noch andere Bedingungen erfüllt werden müssen, welche bei den be- 

 sprochenen Untersuchungen über Minimalflächen unberücksichtigt ge- 

 blieben sind. 



Den ersten Versuch, die hiernach in der Theorie der Flächen 

 kleinsten Flächeninhalts noch vorhandene Lücke auszufüllen, hat meines 

 Wissens Tedenat im Jahre 1816 gemacht, indem derselbe eine Unter- 



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