ÜBER FLÄCHENSTÜCKE KLEINSTEN FLÄCHENINHALTS. 7 



Ein Theil der der Variationsrechnung eigenthümlichen Beweis- 

 methoden hat nämlich, soweit diese Beweismethoden bis vor etwa zehn 

 Jahren Gemeingut der Mathematiker waren , durch eine von Herrn 

 Weierstrass herrührende principielle Einwendung ihre vermeintliche 

 Beweiskraft eingebüsst, so dass es sich als unumgänglich nothwendig 

 herausgestellt hat, nach Aufstellung eines vollständigen Systemes von 

 Bedingungen, deren Erfülltsein für das Eintreten eines Maximums oder 

 Minimums nothwendig ist und hinreicht, einige Hauptlehrsätze der Va- 

 riationsrechnung in neuer, einwurfsfreier Weise zu begründen. 



Dass und wie dies geschehen könne, hat Herr Weierstrass 

 für eine grosse Zahl von Aufgaben der Variationsrechnung in seinen 

 Vorlesungen auseinandergesetzt und dadurch einen Weg gezeigt, auf 

 welchem man, wie zu hoifen ist, dahin gelangen wird, für alle Probleme 

 der Variationsrechnung die bisher gebräuchlichen nicht vollkommen be- 

 friedigenden Methoden durch andere, einwurfsfreie zu ersetzen. 



Die Schwierigkeiten, welche sich der Erfüllung derselben Forderung 

 für die hier in Betracht kommende Frage der Flächen kleinsten Flächen- 

 inhalts entgegenstellten, schienen über Erwarten gross zu sein, Ueber- 

 dies handelte es sich darum , einige allgemeine Lehrsätze über particu- 

 läre Integrale einer gewissen Art von linearen partiellen Differential- 

 gleichungen zweiter Ordnung, von der früher nur ganz specielle Fälle 

 eingehend untersucht worden waren, aufzustellen und zu beweisen. 



In einer Abhandlung »Ueber ein die Flächen kleinsten Flächen- 

 inhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung« , Festschrift zum 

 siebzigsten Geburtstage des Herrn Weierstrass, (Acta Societatis Scien- 

 tiarum Fennicae, tomus XV. Helsingfors 1885), habe ich diejenigen 

 Untersuchungen zusammengestellt, welche schliesslich zur Ueberwindung 

 dieser Schwierigkeiten geführt haben. 



Ein Hauptergebniss dieser Untersuchungen besteht darin, dass die 

 Entscheidung über die Frage , ob ein bestimmtes Minimalflächenstück 

 kleineren Flächeninhalt besitzt, als alle demselben benachbarten, von 

 derselben Handlinie begrenzten Flächenstücke, oder nicht, — wenn von 

 einem Grenzfalle , dessen Eintreten eine besondere Untersuchung erfor- 



