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H. A. SCHWARZ, 



4. 



Herleitiiiig eines Hülfissatzes. 



Es mögen s , zwei complexe verändeiiiche Grössen , denen nur 

 conjugirte Werthe beigelegt werden sollen, f{s),F{s^) zwei analytische 

 Functionen derselben, <r, y zwei reelle veränderliche Grössen bezeichnen. 

 Es wird vorausgesetzt, dass zwischen den Grössen s, s^, x,y die Gleichung 



x + yi = fls) + F(s,) 



bestehe. 



Bei der geometrischen Darstellung der complexen Grössen s,s^, 

 x+yi ergibt sich im Allgemeinen eine punktweise Beziehung derjenigen 

 Bereiche auf einander, deren Punkte die Werthe der complexen Grössen 

 5, x+yi geometrisch darstellen. Diese drei Bereiche mögen beziehlich 

 mit S, S^, Q bezeichnet werden. 



Die Beziehung des Bereiches Q auf den Bereich S ist nur dann 

 eine in den kleinsten Theilen ähnliche, wenn sich entweder die Function 

 F{s^), oder die Function f{s) auf eine Constante reducirt. Jenachdem 

 der erste oder der zweite dieser beiden Fälle eintritt, ist die conforme 

 Abbildung eine in den kleinsten Theilen gleichstimmig oder ungleich- 

 stimmig ähnliche. 



Die durch die angegebene Gleichung vermittelte Beziehung zwischen 

 den betrachteten drei Bereichen kann, auch wenn keine der beiden 

 Functionen F{s^, f[s) sich auf eine Constante reducirt, in ähnlicher 

 Weise durch Zuhülfenahme von Hülfsvorstellungen der Anschauung 

 näher gebracht werden, wie dies im Falle der durch eine Function com- 

 plexen Argumentes vermittelten conformen Abbildung geschieht. 



An die Stelle der Aehnlichkeit tritt hierbei Affinität der 

 kleinsten Theile der auf einander bezogenen zweidimensionalen Gebiete. 



Es ergibt sich auf diese Weise eine gewisse Verallgemeinerung des 

 Begriffes derjenigen Riemann sehen Flächen, durch welche conforme 

 Abbildungen zweidimensionaler Bereiche auf einander veranschaulicht 

 werden. Während bei diesen letzteren die Singularitäten vorzugsweise 



