ÜBER FLÄCHENSTÜCKE KLEINSTEN FLÄCHENINHALTS. 25 



in dem Auftreten von Windungs punkten bestehen, treten bei den 

 hier zu betrachtenden Flächengebilden auch Umfaltungen auf. 



Wenn die Betrachtung auf den Fall beschränkt wird, in welchem 

 die beiden Functionen f[s) und F{sJ innerhalb der Gebiete 8,8^ den 

 Charakter ganzer Functionen besitzen, so sind nur diejenigen Stellen 

 als singulare zu bezeichnen, für welche die Beziehung 



I fXs) I = I F'{s,) I 



besteht. Hierbei wird an der Voraussetzung festgehalten, dass die 

 Grössen s, nur conjugirte Werthe annehmen sollen. 



Der Fall, in welchem die vorstehende Gleichung für alle Paare 

 zusammengehörender Werthe der Grössen s, erfüllt ist, kann als Aus- 

 nahmefall von der Betrachtung ausgeschlossen werden. In diesem Falle 

 ergibt sich nämlich, wenn mit F^{s) die zu der Grösse F{s^) conjugirte 



complexe Grösse bezeichnet wird, dass der Quotient für alle 



Werthe des Argumentes s den absoluten Betrag 1 hat, sich demnach 

 auf eine Constante e^^' reducirt. 



In Folge dieser zwischen den Functionen f'{s) und F[{s) bestehenden 

 Beziehung ergibt sich die Gleichung 



wo C eine Constante bezeichnet. Es ergibt sich dann, wenn mit 

 /K^i)' ^'i '^^ Grössen f[s) , C conjugirten complexen Grössen be- 

 zeichnet werden, dass die Gleichung besteht 



Hieraus ergibt sich aber, da die Klammergrösse für alle in Be- 

 tracht kommenden Werthepaare s,s^ reelle Werthe hat, dass das den 

 zwei dimensionalen Gebieten S , entsprechende Gebiet Q nur ein 

 «indimensionales ist und sich auf eine geradlinige Strecke reducirt. 

 Wenn also von diesem Falle als einem Ausnahmefalle abgesehen wird, 

 so ist die Gleichung 



I f\s) 1 = 1 F\s,) I 

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