ÜBER FLÄCHENSTÜCKE KLEINSTEN FLACHENINHALTS. 27 



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Anwendung des Hülfssatzes. Erklärung des Bereiches Q^. 



Der im Vorhergehenden bewiesene Hülfssatz kann dazu dienen, 

 die Gestalt der orthographischen Projection des Minimalfiächenstückes 

 M* auf die Aequatorebene z = o zu untersuchen. Wenn , y , U, V 

 die in den Gleichungen (A.) erklärten Functionen bezeichnen, so besteht 

 die Gleichung 



x + yi = mu+mv. 



Wird die Grösse x + yi auf die Form f[s) + F{s^) gebracht, so er- 

 gibt sich 



/"(«) = ^ ^ , F'{s,) = - ~ 



Bei der Beschränkung der Veränderlichkeit der complexen Grösse 

 s auf das Gebiet S* sind die Punkte des Einheitskreises die einzigen, 

 für welche die Gleichung 



I ns) I = I F'(s,) I 



befriedigt ist. Innerhalb des Gebietes S* liegt keine Wurzel der 

 Gleichung f'{s) = 0. Das Gebiet welches dem Gebiete bei der 

 durch die Gleichung 



x + yi = mU+mV = f(s) + F(s,) 



vermittelten Beziehung entspricht, ist demnach ein zweifach zusammen- 

 hängender Bereich, welcher in seinem Innern keinen Windungspunkt, 

 wohl aber eine dem Einheitskreise der 5 -Ebene entsprechende Falte 

 enthält. 



Wird die Veränderlichkeit der complexen Grösse s auf dasjenige 

 Gebiet S beschränkt, welchem das Minimalflächenstück M entspricht, 

 so ist das entsprechende Gebiet Q ein einfach zusammenhängender in 

 seinem Innern keinen singulären Punkt enthaltender Bereich , welcher 

 einen Theil der Ebene, deren Punkte die complexe Grösse x + yi geo- 

 metrisch darstellen, d. h. die Aequatorebene z = 0, lückenlos und ein- 

 fach bedeckt. Den der Begrenzung des Flächenstückes M angehörenden 



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