ÜBER FLACHENSTÜCKE KLEINSTEN FLACHENINHALTS. 



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beständig ab. Der Quotient ^ nimmt hiernach jeden positiven Werth, 

 welcher kleiner als tu ist , für zwei und nur für zwei dem Intervalle 

 0 < 12 < 1 angehörende Werthe des Parameters R an. 



Für alle dem Intervalle 0 < < angehörenden Werthe des Pa- 



0 ö 



rameters B, hat die Function ip[s,s^\R) längs der ganzen Begrenzung 

 des Bereiches S*'{R) negative, längs des im Innern des Bereiches lie- 

 genden Einheitskreises positive Werthe. 



Hieraus folgt, dass im Innern jedes dieser Bereiche S*{R) zwei 

 geschlossene Linien liegen, längs welcher die Function xp{s , s^; R) den 

 Werth Null annimmt. Eine dieser beiden Linien liegt innerhalb, die 

 andere liegt ausserhalb des Einheitskreises der *-Ebene. Die Gesammt- 

 heit derjenigen, dem Innern des Bereiches S*'[R) angehörenden Stellen, 

 für welche die Function tp[s,s^;R) positive Werthe oder den Werth 

 Null annimmt, bildet für die angegebene Differentialgleichung einen 

 Grenzbereich. Da dieser Grenzbereich ein Theil des Bereiches S*{R) 

 ist, so ergibt sich auf Grund der in der Schrift »Ueber ein die Flächen 

 kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung« 

 enthaltenen Entwickelungen, dass unter den dem Intervalle 0 < R <: R^ 

 entsprechenden Minimalflächenstücken '^K*{R) kein einziges die Ei- 

 genschaft besitzt, kleineren Flächeninhalt zuhaben, als alle ihm hin- 

 reichend nahe liegenden, von denselben Randlinien begrenzten Flächen- 

 stücke. 



Den beiden Curven innerhalb des Gebietes S*(ß), längs welcher 

 die Gleichung x/j[s, s^; R) = 0 erfüllt ist, entsprechen zwei auf dem 

 Minimalfiächenstück '§iI*(JR) liegende und in Bezug auf die Aequator- 

 ebene desselben zu einander symmetrische Curven, welche mit C{R) be- 

 zeichnet werden mögen. Längs der Curven C{R) wird das Minimal- 

 fiächenstück '§ä*(-R) von den ihm unendlich benachbarten der betrach- 

 teten Schaar angehörenden Flächenstücken geschnitten. 



Der geometrische Ort der Curven C{R) ist eine krumme Fläche 

 welche von den dem Intervalle 0 <c 12 < jR^ entsprechenden Minimal- 

 flächenstücken %^*{R) eingehüllt wird. 



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