46 H. A. SCHWARZ, 



Stück des Flächenstückes mit einander verbunden, so entsteht 



ein zweifach zusammenhängendes üächenstück, welches mit ^F{11) be- 

 zeichnet werden möge. 



Das Flächenstück ^'{R) hat für jeden dem Intervalle 0 < 12 < i?^ 

 angehörenden Werth des Parameters jR mit dem Minimalfiächenstücke 

 ^*[R^) die Begrenzung gemein und besitzt ebenso grossen Flächen- 

 inhalt, als dieses. Da das Fiächenstück W{R) nicht in seiner ganzen 

 Ausdehnung ein MinimalÜächenstück ist, so gibt es in beliebiger Nähe 

 desselben solche Flächenstücke, welche von denselben Randlinien be- 

 grenzt werden und kleineren Flächeninhalt haben, als das Flächen- 

 stück W{R). Aus dem Umstände , dass diese Flächenstücke dadurch, 

 dass dem Parameter R ein dem Werthe R^ hinreichend nahe kommen- 

 der Werth beigelegt wird, dem Flächenstücke ^{l*^(jRJ in der ganzen 

 Ausdehnung desselben beliebig nahe gebracht werden können, ergibt 

 sich, dass dem Minimalfiächenstücke '^'^'{RJ die Eigenschaft nicht zu- 

 kommt, kleineren Flächeninhalt zu besitzen, als alle ihm hinreichend 

 nahe kommenden von denselben Randlinien begrenzten Flächenstücke. 



Hieraus folgt: 



Die dem Intervalle R^< R < l entsprechenden Minimalfiächen- 

 stücke '^*{R) und M*(i2) sind die einzigen den betrachteten Schaaren 

 v^n Minimalfiächenstücken angehörenden Flächenstücke, welche die 

 Eigenschaft haben, kleineren Flächeninhalt zu besitzen, als alle den- 

 selben hinreichend nahe kommenden, von denselben beiden regelmässigen 

 w-seitigen Polygonen begrenzten Flächenstücke. 



Aus der vorstehenden Untersuchung hat sich ergeben, dass, wenn 

 jR, einem dem Intervalle 0 < jR < jR angehörenden Werth des Para- 



1 0 0 o 



meters R bezeichnet, es stets einen und nur einen dem Intervalle 



R^< R< 1 angehörenden Werth R des Parameters gibt , für welchen 



II ^ 

 das Verhältniss denselben Werth besitzt, wie für den Werth 



R = JRj. Die beiden zweifach zusammenhängenden Minimalfiächenstücke 

 und '3a;(-RJ haben dieselbe Begrenzung, aber nur das Minimal- 

 flächenstück ist ein Flächenstück kleinsten Flächeninhalts. 



