X. NEWTON'S INTERPOLATIONS- FORMEL. 



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und hieraus mit Hülfe der Definitions- Gleichung [106] auch: 

 [115] . . . ®[2;J|v. v + 1, . . . v-l-Ä — 1, v + ^] = 1 



[117] . . . ©[^J'jv, v + 1, . . . v-\-k, v + Ä + x] = 0, für x^l 



Die Definition der Differenzen-Quotienten zeigt unmittelbar, dass die 

 Differenzen- Quotienten einer Summe von Functionen gleich der Summe 

 der Differenzen - Quotienten der Functionen sind. Wendet man also die 

 Gleichung [110*] auf eine ganze rationale algebraische Function f{z) von 

 niedrigerem als dem (^+1)^*^° Grade an, berücksichtigt [117], setzt "k = ff, 

 V = 0 und Zo = z. so erhält man für jeden Werth von z unter Benutzung 

 der Bezeichnung : 



[11 8] ..9^[f(^)K|l, 2, 3, ..^-fl] ^i{z,)+±^^ [{{z,) 1 1,2, . . {X, ^-^l]u\z-z,) 



(i,= l X=l 



die Gleichung 



[118*] . . {{z) = 9^[f(z)|3„|l, 2, 3 . ..ff-{-i] 



wenn f{z) ein ganze rationale algebraische Function des Argu- 

 mentes z von nicht höherem als dem Grade ist und das 

 Operations -Zeichen ® sich durch die Gleichungen [105] und 

 [106] bestimmt. 



Die zweite Seite von [118] ist mit der von Newton in »Philosophiae 

 naturalis principia mathematica, I.ib. III. Propositio XL. Lemma V« 

 (Lond. 1687) zur x\ufiösung der Aufgabe »invenire lineam curvam generis 

 parabolici , quae per data quotcunque puncta transibit« aufgestellten For- 

 mel gleichbedeutend. 



Die Gleichung [118*] enthält den Lehrsatz : 



Ei7ie ganze rationale alff ehraische Function ist mit ihrer NKWTON'^cÄm 

 Interpolations- Formel identisch, wenn die Anzahl der hei der letztern in An- 

 wendung gehr achten Functional- Werthe mehr heträgt als der Grad der alge- 

 braischen Function. 



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