42 ERNST SCHERING, 



ARTIKEL Xlll. 



Intcrpolirte Convert/ens - Factorcn. 



Der in dem letzten Artikel gefundene Lehrsatz bietet das Hülfsmit- 

 tel, um zu beweisen, dass es Functionen (Dg und Interpolations- Wertlie 

 der Argumente q(a, ^) gibt, welche die Convergenz des Productes in [42] 

 für t = oo auch dann gelten lassen, wenn in [49] die Anschluss-Functio- 

 nen durch NEWTON'sche Interpolations-Functionen ersetzt werden. 



Es handelt sich also darum , die bis zu unbegrenzt wachsenden Zah- 

 lenwerthen des Summations-Zeigers a auszudehnende Summe der Glieder 

 von der Form : 



[144] . . log|^)(a,^)— =.0,^[W,(p(a,^r^)lq„ (cj,^)| 1, 2, 3, . . . (1 + ä;i]| 



unbedingt und gieichmässig convergent zu machen durch geeignete Wahl 

 der Interpolations - Werthe 



[145] . . . . q.{<^,x), .... q(, ^^.^^^ (a, .2?) 



und der Functionen welche ausserdem noch die Bedingungen [54], 



[55], [56] zu erfüllen haben. 



Hier will ich mich darauf beschränken, den Nachweis dieser Mög- 

 lichkeit bei den in Nr. [97] gewählten Functionen durchzuführen. 



Der Ausdruck [144] erhält für a> 1 dann die Form: 



[146] . . log(p(a,^)—=)+9i[log(p(a,a?r»)|q„(a,^)| 1,2,3, ...(1 + Ä,)] 



Entwickelt man den unter der Interpolations -Function 9^ vorkommenden 

 log. nach Potenzen von q{a,{v), ersetzt ferner die Interpolations - Function 

 einer Summe von Functionen durch die Summe der Interpolations-Functio- 

 nen von den einzelnen Functionen und wendet den Fundamental -Satz für 

 die NEWTON'sche Interpolations - Formel [118*] an, so findet man, dass der 

 Ausdruck [146] gleich 



[146*] .. = log(p(a,^r'"^)4-^[log(p(a,^y"°)|q(a,^)| 



+00 



+ 2 -f^q(a,«,n.5R[q(a,^)^|q„(o,^)|l,2,3,...(l-|-A,)] 

 und, wenn man noch den ersten log. entwickelt, auch gleich 



