XIV. EÜLER'S INTERPOLIRTE PRODÜCTE. 47 



Die von Euler in § 396 gegebene Bestimmung der als »inexplicable 

 Function« oder als »interpolirte K-eihe« betrachteten Grösse f^(cr, to) für ein 

 ganzzahliges x und ein beliebiges (o können wir, wenn wir nur in der 

 Bezeichnuno sweise von Euler abweichen aber in der Anordnuns der Glie- 

 der ihm folgen, durch die Formel darstellen: 



[160] . . . ■^•(i?,u)) = 



= ^{oc)+V{üc^\) +F(j;+2) +¥{x+-i) +etc. 

 — F(,2?+(i)+l)— F(*+tü+2)— F(^+ü)+3)— etc. 

 4- u) |F(^4-1)+AF(^+1) 4-AF(.2^+2) -hAF(a7H-3) -hetc.; 

 + ^'ljAF(^+j)+A^F(^4-l) +A-^F(^+2) +A-^F(^+3) +etc.| 

 + "'('"-0('"^ j 1 )4- A=^F(^+ 1 ) +A^F(^H-2) +A«F(a;H-3) +etc.| 



etc. 



Euler fügt die Worte hinzu : »Sufficit , uti iam notavimus , tot huius- 

 modi series adiecisse , donec ad terminorum infinitesimorum difFerentias 

 evanescentes perveniatur.« Nachdem er dann x gleich 0 und gleich 0 

 gesetzt hat, ordnet er den Ausdruck so, dass er die hier vertikal unter ein- 

 ander stehenden Theile zu einem Gliede einer, über alle ganzen Zahlen von 

 x-{-\ an zu erstreckenden, Summe zusammenfasst. Er gibt auch mehrere 

 Beispiele zu jener Formel, stellt aber keine Betrachtungen über deren 

 Convergenz an. 



Eine Interpolation der Producte findet Euler, indem er in obiger 

 Formel [160] die Functionen F und % als Logarithmen von anderen 

 Functionen aufFasst. Ich will für ein ganzzahliges nicht negatives e und 

 für ein ganzzahliges positives x die Bezeichnungen 



[161] @[E(cr)j 0 |0 |e] = 1 



[162] (g[E(^)|^|0|e] = E(i).E(2).E(3) . . E(^) 



anwenden, ferner für ein ganzzahliges positives e und für beliebige x und 

 u) die Gleichungen : 



