XIV. EÜLER'S INTERPOLIRTE PRODUCTE. 51 



ginären Theil enthält. Es können nemlich die dort mit ao , «a, (\i{<^-,'^)i 

 q2(c5,a?), C{.i{a,x), ha, a^. nto, Va, v bezeichneten Grössen der Reihe nach gleich 

 vA + w, 0, 1, 2, 2, 2, 0, -y, 2 angenommen werden. 



Zwischen den doppelt unendlichen Producten , welche auf die ange- 

 gebene Weise aus dem allgemeinen Gliede [168] gebildet sind, vmd den 

 ganzen elliptischen Functionen bestehen ähnliche Beziehungen, wie zwi- 

 schen den /7- Functionen und den trigonometrischen Functionen. 



Die Functionen (S [E (<r) | .a; | (o | e] , welche in der Gleichung [164] mit 

 Hülfe der unendlich vielgliedrigen Producte bestimmt werden , wenn letz- 

 tere für jeden gegebenen Werth von (o gleichmässig und unbedingt con- 

 vergiren, besitzen bemerkenswerthe Eigenschaften, von welchen ich bei 

 dieser Gelegenheit nur einige andeuten will. 



Lehrsatz 1 : Convergirt das unendlich vielgliedrige Product in [164] 

 gleichmässig und unbedingt für jeden gegebenen Werth von co und für 

 einen bestimmten Zahlwerth e , so convergirt das Product auch' gleich- 

 massig und unbedingt für grössere Zahlenwerthe des e und es wird : 



[169] .... (g[E(a?)|^|(i)le] = (S[E{^)Ijj?|«>|eH-l] 



Lehrsatz 2 : Convergirt das unendlich vielgliedrige Product für jeden 

 gegebenen Werth von to gleichmässig und unbedingt , so erhält der Aus- 

 druck auf der zweiten Seite der Gleichung [164] bei der Zunahme von ,r 

 um +1 denselben Werth wie bei der Zunahme von (o um und es ist: 



[170]. .(g[E(^)|^-hl|iü|el = (g[E(cr)|cr|uj-j-l|e] = E(c2;H-l-f-(o) . (5[E(a;)|^|(ü|e] 



= E(l).(S[E(.r-f l)|.r|(ü|e] 



Lehrsatz 3: Wird [(S[E(,r)|2;| 0 |el für ein nicht ganzzahliges z gleich 

 @ [E (^) I 0 1 2: 1 e] gesetzt und ist das unendlich vielgliedrige Product auf der 

 zweiten Seite der Gleichung [164] für ein gewisses, einen ganzzahligen 

 nicht negativen Werth von öc enthaltendes, Gebiet stetig veränderlicher 

 complexer Werthe des x und für ein gewisses Gebiet stetig veränderlicher 

 complexer Werthe des u) eine eindeutige und stetige analytische Function 

 von £C und von (o , so bleibt der Werth des Ausdrucks auf der zweiten 

 Seite der Gleichung [164] ungeändert, wenn und m innerhalb der er- 



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