VI. GEGEBENE ANSCHLÜSS- FUNCTIONEN. 



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ARTIKEL VI. 



Gegebene Anschluss - Functionen. 



Eine Anschluss - Function bezieht sich auf die Umgebung eines ein- 

 zelnen Punktes. Für vorgeschriebene Anschluss-Functionen , welche sich 

 auf die Umgebungen verschiedener Punkte beziehen , ist von besonderer 

 Wichtigkeit die Auflösung der 



Aufgabe: Innerhalb eines beliebig gegebenen zusammenhängenden, nicht 

 die ganze Ebene aber doch im Allgemeinen den Werth oo umfassenden, Gebie- 

 tes der veränderlichen complexen Grösse x als Argument soll die Function ^[x] 

 die Eigenschaft besitzen , 



dass für die Umgebung des Werthes a^ = \ und eines jeden der innerhalb 

 des genannten Gebietes beliebig vorausbestimmten Werthe a-^, a^, . . a^ von x 

 die Function £ [x] eine rational sich verhaltende Function von x sei und zwar 

 dass von der Entwickelung der Function £[x) nach Potenzen beziehungsweise 

 von [x — «i), [x — tta) . . . ix — aij die Glieder mit nicht höheren als der 

 n^^^, n*^^, n^^^ . . . n*^^ Potenz, also die Anschluss-Functionen 



[26] . . . ^mx)\^\n,]=~i^'\{0,iC)(±)'^ = G{0,x) 



fi. =— m„ 



f[^{cc)\x-a,\nr] = 2 ^{r, ii){x-a,)^ = G{r,x) 

 für r = 1, 2, d . . . t 



mit den von x unabhängigen Coefßcienten A{0,i).) und A{r, [i] gegeben seien; 

 dass aber für die Umgebung eines jeden, von a^, a^, a^, . . . verschiedenen im 

 Innern des vorgegebenen Gebietes liegenden, Werthes des x die Function t{x) 

 sich regulär verhalte. 



Eine noch mehr beschränkende Aufgabe wird diejenige sein, worin dies 

 zuletzt geforderte reguläre Verhalten der Function tix) auch ein vollständig 

 reguläres sein soll. 



Auflösung: 



Ausserhalb des für die Function t[x) vorgegebenen Gebietes will 

 ich die Werthe ao, Ci, ag, . . beliebig von einander verschieden oder 

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