V. FUNCTIONEN VON FUNCTIONEN. 15 



ven k den kleinsten AVerth und für den Fall eines positiven k den gröss- 

 ten Werth hat , so ist : 



für jede ganze Zahl x, welche nicht unter der beliebig gewählten ganzen 

 Zahl — Ä liegt. 



Der Beweis dieses Lehrsatzes kann daraus hergeleitet werden , dass 

 in ;dem Ausdrucke F(,r) . H(K(,2;)) dasjenige Glied mit der w^^'^ Potenz 

 von p (x) , welches sich durch die Ausführung der Reihen - Entwickelung 

 von ^{x) nach Potenzen von p(<2?) und durch die Einsetzung der Reihen- 

 Entwickelung von K(.z') nach Potenzen von p(^) in die Reihen -Ent- 

 wickelung von H{K(ir)) nach Potenzen von K(.2?) ergibt, ausser von 

 den Gliedern in der Entwickelung der Function Y{x) nur von den Glie- 

 dern bis zur {n-\-f-{-^k — kf^^ Potenz in der Entwickelung der Function 

 K(a7) nach Potenzen von p(^) abhängt. Auf diese Weise entsteht der 

 Lehrsatz für den Fall, dass die drei Anschluss- Functionen für dasselbe 

 Argument p [x) gebildet werden. Um die äusseren Anschluss-Functionen 

 wie in [19] für das andere Argument ^^[x) zu erhalten, braucht man die 

 gefundene Gleichung nur der Umwechselung der Argumente nach Vor- 

 schrift [14] in Art. III. zu unterwerfen. 



Die wiederholte Anwendung der durch die Gleichungen [16] und [19] 

 dargestellten Sätze ergibt den 



Lehrsatz: Bedeuten die Ausdrücke : 



[20] . . p(^K.F(^), p(^)^P.Kp(^), //^r p = 1, 2, 3, . . 



in der Umgehung des Werthes '^{x) = 0 für ganze Zahlen /, k^, Äg--- '^oll- 

 ständig regulär sich verhaltende Functionen beziehungsweise des Argumentes 



p(^), p(^), p(.2?), 

 bedeutet ferner jeder der Ausdrücke 



[21] .... Hp(Kp(x)) für jedes p = 1, 2, 3 . . . 



eine nach Potenzen von Kp [x) mit ganzzahligen wachsenden Exponenten fort- 

 schreitende Reihe , für welche in dem Falle , dass sie unendlich viele Glieder 



