II. ANWENDUNG DER TAYLORSCHEN REIHE. 



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ARTIKEL II. 



Anwendung der Taylor'schen Reihe. 



Lehrsatz. Siiid Fi(^), 'F^[oo), pfa;) solche Functionen von x, so 

 dass durch Elimination von x sowohl die Function ^i[x) ivie auch F2(a7) in 

 der Umgehung des Werthes ^(^7) = 0 rational sich verhaltende Functionen 

 vom Argumente p {x) werden , sind ferner , k2 beliebige ganze positive oder 

 negative Zahlen, sind endlich «3 beliebige von x unabhängige und bi, 62 

 von X unabhängige aber auch von 0 und ^ verschiedene Grössen, so ist 



[l2]..'^[{a,F,{x)-i-a,Y,{x))\p{x)\n] = «il3(^r^' Fi(^)I&i^3(^)|« + Ä,] 



Bedeuten m, mi, m^ diejenigen ganzen Zahlen, welche jeden der 

 drei Ausdrücke 



p [xr («1 Fl (^) + «2 ^\ (^)) , P i^)"' Fl [x) , p [xr F, {x) 



eine in der Umgebung des Werthes )^[x) = 0 vollständig regulär sich 

 verhaltende Function von dem Argumente p [x) werden lassen , so ist m 

 nicht grösser als die grösste der beiden Zahlen m^ und m^. Die nach der 

 Vorschrift [3] zu bestimmende Anzahl der Glieder beträgt für die An- 

 schluss-Function auf der ersten Seite, für die erste und für die zweite An- 

 schluss-Function auf der zweiten Seite der Gleichung [12] beziehungsweise 



Wendet man solche ganzzahlige k^, k2 an, welche keinen der bei- 

 den Ausdrücke 



für die der Null sich nähernde Grösse p [x) unendlich gross werden lassen, 

 so kann jede der beiden auf der zweiten Seite der Gleichung [12] stehen- 

 den Anschluss - Functionen , wie unmittelbar aus [2] ersichtlich ist, mit 

 Hülfe der TAYLOR'schen Reihe dargestellt werden. 



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