10 ERNST SCHERING, 



Lässt man in [1] und [2] die Beschränkungen fallen, dass die Zahl 

 m eine endliche ganze Zahl sei und dass (x nur ganzzahlige Warthe be- 

 deute, behält aber die Voraussetzung bei, dass die Reihen für jeden Werth 

 des complexen Argumentes p(<2?), dessen absoluter Betrag unter einer 



beliebig gegebenen Grösse und über einer beliebig klein wählbaren positi- 

 ven Grösse liegt, gleichmässig und unbedingt convergiren, so entstehen 

 Functionen ^, welche auch Anschluss-Functionen genannt werden mögen. 



Eine in einem gegebenen Gebiete rational sich verhaltende Function 

 besitzt in diesem Gebiete nur rationale algebraische Anschluss-Functionen. 



Ist die Function in dem Gebiete eine regulär sich verhaltende, so be- 

 sitzt sie darin auch nur ganze rationale algebraische Anschluss-Functionen. 



Wird die Function in dem Gebiete eine vollständig regulär sich ver- 

 haltende, so sind ihre Anschluss-Functionen darin ganz rational alge- 

 braisch und jede derselben enthält ein additives von Null verschiedenes 

 constantes Glied. 



Sind für eine eindeutige analytische Function in einem gegebenen 

 Gebiete alle Anschluss-Functionen, deren Ordnungszahlen n unter einer 

 beliebig angenommenen endlichen positiven Grenze bleiben, entweder ge- 

 brochene rationale algebraische oder ganze rationale algebraische Functio- 

 nen , so verhält die analytische Function sich in dem Gebiete beziehungs- 

 weise rational unstetig oder regulär. Wird von den betrachteten An- 

 schluss-Functionen in dem Gebiete jede ganz rational algebraisch und be- 

 sitzt jede ein additives von Null verschiedenes constantes Glied, so ist die 

 eindeutige analytische Function auch eine in dem Gebiete vollständig re- 

 gulär sich verhaltende. 



Mit Hülfe der hier eingeführten Anschluss - Function lassen sich 

 manche analytische Betrachtungen in einfacher Form ausdrücken. An 

 dieser Stelle will ich nur auf die Partialbruch -Zerlegung algebraischer 

 Functionen , ferner auf die Abhandlung »Methodus nova integralium valo- 

 res per approximationem inveniendi« von Gauss 1814 (Vergl. G. W. Bd. IIL 

 Seite 16 5.) und auf die sehr merkwürdigen Untersuchungen von Mr. Her- 

 MiTE »Sur la fonction exponentielle« (Comptes rendus. t. LXXVII, a, b, 

 Paris 1873 juillet 7. aoüt 4) hinweisen. 



