1. ANSCHLUSS -FUNCTION. 9 



Sinne) die rationalen Functionen — im gewöhnlichen Sinne — durch eine 

 kurze Ausdrucksweise zu unterscheiden, nenne ich die letzteren rationale 

 algebraische Functionen. 



Hat in der Eeihen - Entwickelung [1] für eine Function F(a?) die 

 Zahl m keinen grösseren Werth als Null , so ist F [oc) eine in der Um- 

 gebung des Werthes = 0 



[10] . . regulär sich verhaltende Function des Argumentes )f)[x) zu nennen. 



Bei den vorliegenden Untersuchungen kommt es sehr häufig in Be- 

 tracht, ob die Function für denjenigen Argument - Werth , für dessen 

 Umgebung die Function regulär sich verhält, einen von Null ver- 

 schiedenen Werth hat. Zur Abkürzung des Ausdrucks will ich die 

 Function in solchem Falle als eine in der Umgebung des betreffenden Ar- 

 gumentwerthes 



[11] . . vollständig regulär sich verhaltende Function bezeichnen. 



Besteht also die Entwickelung U] entweder für = x — .^o oder 



für p(<2?) = ^, und wird m = 0 aber verschwindet nicht, so ist be- 

 ziehungsweise entweder x^^ oder \ derjenige Werth des Argumentes, für 

 dessen Umgebung die Function ^{x) eine vollständig regulär sich verhal- 

 tende Function des Argumentes x genannt wird. 



Besitzt eine Function ^{x) Reihen - Entwickelungen von der Form 

 [l] für )^[x) = X — a und für jeden innerhalb eines bestimmten zusammen- 

 hängenden Gebietes befindlichen Werth a und zwar der Art, dass den 

 von a abhängigen Coefficienten für jeden besonderen Werth a ein 

 einziges Werthensystem zukommt , so heisst sie eine in diesem Gebiete 

 rational sich verhaltende Function des Argumentes x. 



Wird unter jener Voraussetzung ferner kein mit einem negativen 

 Index [i. behaftetes Ä^^ von Null verschieden, so heisst die Function eine in 

 jenem Gebiete regulär sich verhaltende Function. Nimmt sie endlich darin 

 auch nicht den Werth Null an, so soll sie eine in jenem Gebiete vollstän- 

 dig regulär sich verhaltende Function genannt werden. Umfasst das in 

 Bede stehende Gebiet auch einen unendlich entfernten Punkt der Ebene x, 

 so muss eine Reihen-Darstellung von der Form [l] für )i^[x) — gelten. 

 Mathematische Glasse. XXVII. 1. B 



