UEBER FUNKTIONEN ZWEIER VARIABELN. 5 



von = 0, = Q nachgewiesen, dass s, — b^, z.-, — in der Umgebung 

 von - v^, ^2 - ^2 ^^^^^ nach ganzen positiven Potenzen von — v^, 

 — ^2 entwickeln lassen. 



Da ^2 von einander unabhängige Veränderliche sind, so hat 

 man die Stellen u^ = v^, = für welche eine der Grössen z^, z^ 

 mit gewissen singulären Punkten der Funktionen f{z), cp [z), wozu unter 

 Umständen der unendlich ferne Punkt gehört, comcidirt, oder eine der 

 Grössen , gleich einem Werthe y wird, oder endlich z^, z^ der 

 Gleichung (B) genügen, nur dann einer besonderen Untersuchung zu 

 unterwerfen, wenn z^, z,^ in die angegebenen Werthe einrücken, ohne 

 dass zwischen den letzten Wegelementen, mit welchen u^, resp. in Vj, 

 ^2 eintreffen, eine bestimmte Beziehung vorausgesetzt werden muss. 



Wenn dagegen keiner der angegebenen Werthe von z^, z^ für 

 = Vj, «2 ="^2 erreicht werden kann, ohne dass zwischen den letzten Weg- 

 elementen der Veränderlichen m^, eine Beziehung vorausgesetzt wird, 

 so müssen die Funktionen z^^ z^ der unabhängigen Veränderlichen u^^u^ 

 in diesen Stellen auch andere als die genannten Ausnahmswerthe an- 

 nehmen, also bei Umkreisung dieser Stellen, so lange u^,u^ von ein- 

 ander unabhängig bleiben, sich eindeutig verhalten, in diesen Stellen 

 jedoch unbestimmt werden. 



Um Weitläufigkeiten zu vermeiden, bemerken wir, dass wir im 

 Folgenden voraussetzen können, dass für f[z), cp [z] in den zur Umgebung 

 eines singulären Punktes dieser Funktionen oder eines nicht singulären 

 Punktes derselben oder endlich des unendlich fernen Punktes gehörigen 

 Entwickelungen die niedrigsten Dimensionen der Glieder übereinstimmen, 

 und dass wenn C mit einem der Werthe coincidirt , ff{z) dz, {z) dz 

 gleichzeitig unendlich werden. Denn wenn dieses nicht stattfindet, so seien 



/i(^) = Tii/(^) + Ti2T(^) 



(^) = T2i/(^) + T22T(^)' 



Tii' Ti2' T21' T22 willkürliche Grössen bedeuten. Setzt man alsdann 



^2 = T21^1 +T22^2 



