6 L. FÜCHS, 



so gehen die Gleichungen (A) über in 



(A^) 



J ^^{z)dz -\- J ^(z)dz — 



Es haben nunmehr (z) und cp ^ (z) wegen der Willkürlichkeit von y ^ ^ 

 ■ . . -^2 0 verlangte Eigenschaft, und es sind die symmetrischen Funk- 

 tionen von 2 p So alsdann in der Umgebung bestimmter Werthe von 

 w^, eindeutig, wenn dieselben Funktionen in der Umgebung der 

 entsprechenden Werthe von w^, eindeutig sind, und wenn anderer- 

 seits die letzten Wegelemente mit welchen w^, in gewisse Werthe 

 w'j, w\ einrücken, von einander abhängig werden, so werden dadurch 

 auch bestimmte Beziehungen zwischen den letzten Wegelementen, mit 

 welchen u^, in die w\, w\ entsprechenden Werthe von m^, ein- 

 treffen, festgestellt. 



3. 



Zunächst ergiebt sich der Satz : 



I. Die Funktionen f[z) und ^{z) dürfen nicht für ein 

 und denselben endlichen Werth von z verschwinden. 



Es sei in der That z — h zunächst ein nicht singulärer Werth 

 der Funktionen f[z)^ cp(2:], für welchen beide gleichzeitig verschwinden, 

 und man habe in der Umgebung von z = b 



m = 0.U {z-hf -h a,+ , [z-hf+' -i- . . . 



r^[z) = ak [z-bf + ak+, iz — bf+' + . . . 

 wo k eine positive ganze Zahl. 



Es bezeichne z = c einen willkürlichen ebenfalls nicht singulären 

 Werth von z, in dessen Umgebung 



m = h + h + • • 



^^^^ ^(^) - P'o + ß'i(^-^)-t-----, 



