ÜEBER FUNKTIONEN ZWEIER VARIABELN. 21 



Demnach müssten c'^, c'^ beliebig wenig von einem Werthenpaare ver- 

 schieden sein, welches gleichzeitig den Gleichungen (B) und (C) oder 

 (H) Genüge leistet. Nach No. 4 bis 6 werden aber solche Werthen- 

 paare nur erreicht, wenn u^, von einander abhängige Wege be- 

 schreiben. 



Da andererseits nicht z^, sich gleichzeitig ein und demselben 

 Werthe der angegebenen Art annähren können, wenn gleichzeitig f(z^) 

 und /{z^) so wie ^{z^) und ^{z^) ein und denselben Werth anstreben, 

 ohne dass u^, m, unendlich gross werden, so ergiebt sich der Satz: 



FiiTwillkürlicheWegeYonu^,u.^ können für endlicheWer- 



the dieser Variabein nicht solche Werthe z^,z^ erreicht wer- 



„ ^(z ) <p(z ) 



den, dass einer oder beide der Quotienten ~~, ~~ einen der 



mit Y bezeichneten Werthe annehmen, und auch nicht solche 

 singulare Werthe z^, der Funktionen f{z), <p(z), für wel- 

 ches eines oder beide der Integral werthenpaare ff{zjdz^, 

 Jff[z^) dz^, ff{z^) dz^, jr^[z^) dz^ unendlich werden, ohne dass 

 die Variabein z^ , z^ unendlich viele Umläufe vollzogen 

 habe n. 



8. 



Aus Gleichung (F) ergiebt sich : 



I. Die Funktion z von C kann nicht mehr als zwei- 

 werthig sein. 



Denn wären z ^, z^, z^ drei verschiedene Zweige der Funktion z 

 von C, so wäre nach Gleichung (F) 



dz, dz^ ^ 



also 



