ÜEBER FUNKTIONEN ZWEIER VARIABELN. 25 



fenheit, dass eine Entwickelung von z nach steigenden Potenzen von 

 C — a mit nur einer endlichen Anzahl von Potenzen mit negativen Ex- 

 ponenten nicht möglicli ist. Wir wollen für solche singulare Punkte 

 dieselbe Bezeichnung wesentlich singulare Punkte anwenden, welche 

 Herr Weier strass für eindeutige Funktionen angewendet hat (Abh. 

 der Berliner Akademie Jahrg. 1876 p. 11 bis 15). 



Da die Funktionen P(C), Q(C), -R(C) in einem wesentlich singulären 

 Punkte jeden beliebigen Werth annehmen (cf. Weier strass 1. c. p. 



'•9 i^) 



59 — 60), so ereiebt sich, dass 777^ = C für einen solchen Punkt von z 



unabhängig werden muss. 



Demnach sind die Wertlie C — 7 die einzigen wesent- 

 lich singulären Punkte der Funktion z von C- 



Ist C = et ein Werth, welcher mit keinem der wesentlich singu- 

 lären Punkte comcidirt, und z = a einer der beiden Werthe von z, 

 welche ihm nach Gl. (K) entsprechen, so ist in der Umgebung von 

 C = a 



_k_ _ (A;— 1 ) 



(1) z—a = c_j,[(.— a) 2 -I- c_(Ä_,)(C— a) 



H- . . ■ + c„ + c, (C— a)^ 4- C2 (C— # 4- . • . 



wo die Anzahl der Glieder mit negativen Exponenten eine endliche mit 

 k bezeichnete Grösse ist. 



Ist a ein singulärer Punkt der Funktionen f[z], cp [z] , so ist nach 

 No. 1 in der Umgebung von z = a 



(2) f[zf = P^ + P, log [z — a] P2 [log{z-a)f -f- . . . 



+ P^[log{z~a)]\ 



wo P^, P^, . • . Px Umgebung von z = a nach ganzen Potenzen 



von [z — a)» entwickelt sind, mit nur einer endlichen Anzahl von 

 Gliedern mit negativen Exponenten. 



Aus Gl. (1) folgt 

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