26 L. FUCHS, 



(3) z-a = (C-a) j^(Q, 



wo für C, = a weder Null noch unendlich, und demnach log i{Q 

 nach positiven ganzen Potenzen von (C — a]* entwickelbar ist. 

 Demnach ist 



(4) f{zf = P; + p; log (C - a) + P; [log (C ~ a)f + . • • H- P{ [log (C-a)l\ 

 wenn man 



(-|yf^» + ^'-+> l«gx(Q + -P/+2(«H"2)JlogxCT+ . . . 



+p,x,_.[iogx(Qi^-*"i = p; 



m(m — 1) . . {m — /+!) 

 1.2.../ 



setzt. Die Coefficienten P^, P^ . • Px sind nach steigenden Potenzen 

 von C — Ol mit rationalen Exponenten entwickelbar , so dass Glieder mit 

 negativen Exponenten nur in endlicher Anzahl auftreten. 



Nach Satz II No. 8 ist aber /{zf eine zweiwerthige Function von 

 erhält also bei Umläufen von C um a nur zwei Werthe, während 

 die rechte Seite der Gleichung (4) durch Wiederholung dieser Umläufe 

 unendlich viele Werthe annimmt. Demnach muss 



p; = 0, p; = 0, . . . p;==o 



sein. Hieraus folgt aber 



(6) Pi = 0, P, = 0, . . . P^ = 0. 



Demnach enthält die Entwickelung von f{z) in der Um- 

 gebung von z — a keine Logarithmen. Da (j^[zf =z Qflzf eben- 

 falls eine zweiwerthige Funktion von ^ ist, so folgt, dass auch die 

 Entwickelung von <^[z) keine Logarithmen enthält. 



Aus der Gl. (4) ergiebt sich , 



(7) = p; 



d. h. es ist auch f{zf in der Umgebung von 1 = a nach steigenden 

 Potenzen von C — « mit rationalen Exponenten entwickelbar, derart 



