UEBER FUNKTIONEN ZWEIER VARIABELN. 27 



dass die Anzahl der Glieder mit negativen Exponenten eine end- 

 liche ist. 



Demnach ist C, = a auch kein wesentlich singulärer 

 Punkt für die Funktion f{z)^ von 4- 

 Es sei nunmehr 



(8) 



wo e^, e'^ von Null verschieden sind. Setzt man 



— = a 



Cp(2) . — 



und entwickelt \, , nach steigenden Potenzen von (z — a)n so er- 

 f{z) ^ ^ 



hält man 



1 2 



(9) C — a = p/s' — «)^+p2(2 — • • • 

 wo p, = -^^-^lT.—^ ^ 



1 



Ist der Coefficient nicht Null, so folgt, dass [z — a)n in der 

 Umgebung von C — ot eindeutig ist. Ist dagegen p^ = 0, so kann 

 nicht verschwinden, weil sonst z — a in der Umgebung von 4 = a 

 mehr als zwei Werthe annehmen würde, was mit dem Satze I. in No. 8 

 in Widerspruch stände. 



Fasst man das Vorhergehende zusammen , so erhält man den Satz : 

 I. Die Funktionen z und f{zf von C haben dieselben 

 wesentlich singulären Punkte, und zwar sind es diejeni- 



gen Werthe 4 = 7? für welche j-'(J^ ~T jeden Werth 



von z. Die beiden Werthe von z. welche einem nicht we- 

 sentlich singulären Punkte C = « der Funktion z von 4 

 entsprechen, sind entweder nicht singuläre Punkte der 

 Funktionen f{z) und ^{z)^ oder so Iche singuläre Punkte a, dass 



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