28 L. FUCHS, 



die für die Umgebung von a gültigen Entwick elungen von 

 f{z)-, ^(z) keine Logarithmen enthalten, und dass in der 



Entwickelung nach steigenden Potenzen von [z — a)» 

 ^ a4-p,(z — a)n+p,(z-a)«+ . . . 



nicht gleichzeitig und p^ verschwinden. Einem Werthe 

 z, für welchen Jf(z)dz, f^[z)dz endliche Werthe erhalten, 

 entsprechen nur nicht wesentlich singulare Werthe der 

 Funktion z von C- 



Es ist zu bemerken dass hier z = oo den singulären Punkten bei- 

 gezählt worden ist. 



Aus der Gleichung 



1 2 



(10) C~a = p^(z_a)"^+p^(z — a)^+ . . . 



folgt für I 



a) in dem Falle dass p^ von Null verschieden ist 



dz 1-- JL 



(^^^ d^ = ^^~"''^ « jxo +x^(z — a)" + . . .| 



b) in dem Falle aber, dass p, verschwindet, 



dz i-± * 



WO Xj^, von Null verschiedene Grössen bedeuten. 



Bezeichnen wir mit [x den Exponenten der niedrigsten Potenz von 

 z — a in der Entwickelung von f{z) in der Umgebung von z = a, so 

 ist nach Satz IL No. 3 



— n — k-\-l 



[i. = , 



n 



wo k die Null oder eine positive ganze Zahl bedeutet. Es folgt daher 

 aus Gl. (E), dass im Falle a) 



