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für welchen ¥(Q verschwindet. Ist h einer der beiden zu C = ß gehörigen 

 Werthe von z, so muss nach GL (N) fip) — 0 sein. Da aber nach 

 Satz I No. 3 nicht gleichzeitig cp(6) verschwindet, so ergiebt sich dass 

 ß = oo sein müsse. 



Ist demnach C = oo nicht ein wesentlich singulärer Punkt der 

 Funktion z von C, und wird vorausgesetzt, dass ¥ (oo) = 0, und es sei 

 z =^ b einer der beiden Werthe von z, welche C = oo entsprechen 

 (nach der in No. 2 gemachten Bemerkung entspricht C = oo, wenn 

 dieser Punkt nicht zu den wesentlich singulären Punkten der Funktion 

 z von C gehört, keinem singulären Punkte der Funktionen f[z), ^[z)), 

 so ergeben sich eben dieselben Gleichungen (20) — (22a). Die vorher- 

 gehende Untersuchung ergiebt den folgenden Satz : 



III. Es sei C = ß ein endlicher Werth, welcher nicht 

 zu den wesentlich singulären Punkten der Funktion z von 

 C gehört. 



Ist einer der beiden Werthe von z, welche C = ß ent- 

 sprechen, ein singulärer Punkt a der Funktionen f{z) und 

 cp(2;), und bezeichnet man den Exponenten der niedrigsten 

 Potenz von s — ain den für f[z), <f(z) in der Umgebung von 



a bestehenden Entwickelungen mit — — wo ^ = o 



^ n 



oder eine ganze positive Zahl, so bleibt \J^{C) entweder mit 



(C — ß)^ oder mit (C — ß) ^ multiplicirt in der Umgebung von 

 C = ß eindeutig und für C = ß endlich und von Null ver- 

 schieden. Es ist der erstere Multiplicator oder der zweite 

 anzuwenden, je nachdem z in der Umgebung von C = ß ein- 



werthig oder zweiwerthig ist. — Dasselbe findet Statt wenn 



1 



a = oo und der Exponent der niedrigsten Potenz von — mit 



bezeichnet wird. 



n 



Entspricht dem C = ß ein nicht singulärer Werth z = b 

 der Funktionen /(«), ^[z], und ist ¥(ß) = oo, so ist (C — ß)'\/F(Cj 



