ÜEBER FUNKTIONEN ZWEIER VARIÄBELN. 33 



in der Umgebung von C = ß eindeutig und für C = ß end- 

 lich und von Null verschieden. 



Die Funktion W(C) kann für keinen endlichen Werth 

 von C verschwinden. Gehört C — oo nicht zu den wesent- 



lich singulären Punkten der Funktion z von C, so ist C^\/^(C) 

 oder C*\/^(^) Umgebung von C = cxd eindeutig, und für 



C = oo endlich und von Null verschieden, je nachdem z in 

 der Umgebung von C = oo ein- oder zweiwerthig ist. 



11. 



Nach den in No. 2 bis 7 angestellten Untersuchungen verbleibt 

 uns noch das Verhalten von z ^. z^ als Funktionen von Wj, zu unter- 

 suchen, in der Umgebung solcher Werthe — -y^ , — v^^ für 

 welche z^ ^ z^ = a. f[z^ = /(«z) TI^'i) = ^(^J = <f(«) 



werden, sei es dass a nicht unendlich wird oder mit einem singulären 

 Punkte der Funktionen f{z\ <f {«) zusammenfällt, sei es dass a mit einem 

 solchen Punkte zusammenfällt oder unendlich wird, wenn mir ff [z] dz, 

 J^[z) dz für z = a nicht unendlich werden. 



Ist C = ß einer der Werthe von C, welche z = a entsprechen, 

 so ist nach Satz I No. 10 ß von den wesentlich singulären Punkten der 

 Funktion z von C verschieden. 



Ist a ein singulärer Punkt der Funktionen f{z) und ^[z], so ergiebt 

 sich aus der Forderung, dass ff{z)dz, f(f>{z)dz für z = a nicht unend- 

 lich werden, nach den in No. 1 und 2 gemachten Voraussetzungen, 

 dass die Entwickelungen von / [z) und cp {z) in der Umgebung von z = a 

 keine Logarithmen enthalten, und dass nach S. II No. 3 der Exponent 



— w + 1 



der niedrigsten Potenz von z — a die Form habe. 



Es ist also in diesem Falle im Satze III No. 10 A; = 0, so dass 

 diesem Satze gemäss in der Umgebung von C = ß entweder 



(1) VW; = ^ 4-£i(C-ß) + . . . 



oder 



Mathem. Classe. XXVII. 2. E 



