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Werthe m^, u.^ eindeutig sind, in deren Umgebung sich + C, • C2 

 eindeutig verhalten. 



12. 



Aus den vorhergehenden Entwickelungen geht hervor , dass unter 

 der in No. 2 gemachten Voraussetzung die durch die Gl. (A) definirten 

 Funktionen z^, der Variabein m^, Wurzeln einer quadratischen 

 Gleichung sind, deren Coefficienten für endliche Werthe der vv^illkürli- 

 chen Variabein m^, sich eindeutig verhalten. Wenn T12' Tai' 



willkürliche Grössen bedeuten, so sind die Grössen 7,,^^ ~l~Ti2^2' 

 Tzi^i ^2 2**2 endlich für jedes endliche Werthenpaar von m^, w^, 

 unendlich wenn eine oder beide der letzteren Grössen unendlich gross 

 werden. Es sind also auch ohne die Voraussetzung von No. 2 -\- z~^, 

 z, . z„ eindeutige Funktionen von u,, w„ für alle endlichen Werthe dieser 

 Veränderlichen . 



Fassen wir nunmehr die Untersuchungen von No. 2 bis 7 und No. 1 1 

 zusammen, so ergiebt sich das folgende E-esultat: 



Damit die durch die Gle i chungen (A) de fi ni rt en Funk- 

 tionen z^, z^ der willkürlichen und von einander unabhängig en Va- 

 riabein Mj, ^2 einer quadratischen Gleichung genügen, deren 

 Coefficienten für alle endlichen Werthe dieser Variabein 

 sich eindeutig verhalten, wenn die Funktionen f{z), (p{z) die 

 in No. 1 angegebene Beschaffenheit haben, sind folgende 

 nothwendige und hinreichende Bedingungen zu erfüllen.- 

 Die beiden Funktionen /(z) und <f[z) dürfen nicht für ein 

 und denselben endlichen Werth von 2; verschwinden. Der 

 Exponent der niedrigsten Potenz von z — a in der Entwicke- 

 lung von "{ f{z) 0 <^ [z) [f, ^ willkürliche Grössen) in der Umge- 

 bung eines singulären Punktes a der Funktionen f[z), ^{z), 

 muss eine negative Zahl sein, welche entweder die negative 



1 



Einheit nicht übersteigt, oder den Werth — 1 -|- — hat {n 



