Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 43 



brochenen Theil. Es wird also in einem solchen Falle die Aufsuchung vorläufiger Lö- 

 sungen immer der erste unumgängliche Schritt sein, um den integrirenden Faktor zu 

 finden, und es ist klar, dass dieses Mittel im Allgemeinen, mit Ausnahme einfacher Fälle, 

 durch keine Substitution zu ersetzen ist. Wenn jedoch der integrirende Faktor bloss die 

 Form e~^hat, so leisten, wie gesagt, unvollständige Lösungen für die Integration keine 

 Dienste. Die nähere Betrachtung dieses Falles gehört daher auch nicht zu der eigent- 

 lichen Aufgabe gegenwärtiger Schrift ; ich will ihn jedoch der Vollständigkeit wegen nicht 

 ganz unerwähnt lassen. Sei also V ein ganzes Polynom in y und 



e~^(Mdœ -+- Ndy) = dQ , 



so ist: 



dy dx dy dx 



Nun sei z. B. M=l-^P^y-^Py-i-P^y', N=Q-^Q^y-^ Q^, V = X ч- X\y -л~ X./ ; 

 so ergiebt sich aus vorstehender Gleichung die folgende: 



und hieraus nach den verschiedenen Potenzen von у : 



2 11 ^ dx ^ ^ dx 2 dx 



р ^^^ = X — Q^. 



1 da; 1 ^ dx 



Sind nun P3, P^, Q^, als Funktionen von x beliebig gegeben, so findet man aus 

 der ersten der vorstehenden Bedingungen sofort alsdann ergiebt die zweite für X^ eine 

 lineare Differentialgleichung, mittels deren durch bekannte Funktionen dargestellt wer- 

 den kann. In den beiden folgenden Gleichungen finden sich dann nur die Unbekannten 



und da alles übrige darin bekannt ist; multiplicirt man also die dritte mit ЛГ^, die vierte 

 mit 2 J2 und subtrahirt, so ist P^ weggeschafft und also auch X, gefunden. Und voll- 

 zieht man ebenso die durch 3) — 4) angedeutete Operation, so erhält man P,. 

 Schliesslich giebt die ^fünfte Bedingung Q durch Integration einer linearen Gleichung. 



