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§ 15. Ehe ich zur Anwendung des Vorstehenden auf einige besondere Fälle über- 

 gehe, habe ich noch eines Satzes zu erwähnen, der eine Erweiterung der bekannten Regel 

 für die Integration homogener Gleichungen enthält. Sind nämlich M, N, Q homogene Funk- 

 tionen von X und 2/, die beiden ersten von gleichen Graden n, die dritte von einem beUe- 

 bigen Grade </, so besteht der Satz darin, dass die Gleichung 



Mdx -+- Ndy -V- Q{xdy — y dx) = 0 



sich nach Art der homogenen Differentialgleichungen durch Einsetzung von tx für y inte- 

 griren lässt. 



Denn es wird für y — tx 



M = x'*f{t), N=x''F{i), 0 = х^Ф{і), xdy — ydx = x4t, 



daher geht obige Gleichung über in : 



x"^ {ft-\-t Fl) dx -t- x""^' .Ft.dt-^ x^~^\ Фt.dt=0 



oder in folgende: 



x''-'^-"^{fl-l-t.Ft)dx^x''-'^-\Ft.dt-^Фt.dt=0, 



welche augenscheinlich nach x^~^~^ linear ist und in nachstehende Gestalt gebracht 

 werden kann : 



(ß-^-^^)<^i-'^-^- n^Ft.x--^-4t-^Qt.dt = (). 



n — q — 1 



Setzt man nun 



,/ 



und multiplicirt obige Gleichung mit 



n — q — l)Ft.dt 



n—q—l j 

 fl-^t.Ft 



so erhält man das Integral 



■ Î - 1 )/^,^ = Const. 



Wünscht man den integrirenden Faktor der vorgelegten Gleichung ohne Einführung neuer 

 veränderlicher Grössen in seiner einfachsten Gestalt darzustellen, so setze man 



Mdx Ndy _ 



Mx-i-Ny ~Y ' 



alsdann ist dieser Faktor : ^ 



pn—q—l 

 Mx -t-Ny 



und man erhält sofort : 



pn-9-i[Mdx-,-Ndy4-Q{xdy-ydx)] _pn-q-2^p ^ P^-i—^.Q{xdy-ydx) __^f^ 

 Mx -+■ Ny Mx -+- Ny 



I 



