Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 45 

 Setzt man nämlich y = tx, so findet sich sogleich 



rFt .dt 



P= xe' 



ferner ist ^ = ж* . Фі , œdy — ydx = x^dt^ Mx4-Ny = ж'*'*' ' {fi Fl) ; dalier wird das 

 zweite Glied in vorstehender Formel, nämlich 



rFt . dt r Ft. dl 



Mx-^Ny x'^-*-^ (ft -i- t . Ft) ft-+-t.Ft 



ein vollständiges Diôerential. 



Es sei z. B. Q eine beliebige homogene Funktion von |, also eine homogene Funk- 

 tion vom Grade ? = 0 , so ist : 



Pn—l Щ^д, _^ J^^y _^_ Q (j^lly — ydx)] J,^ 



in (Iii. 



Mx -+- Ny 



Es sei M= ax^ bxy -ь сг/^, N = а^х^ -\- Ь ^ху с^у^., also n = 2 , dabei der Grad q 

 der homogenen Funktion Q beliebig, so wird 



log P = log X H-/^(-, Ja J't'-t^^lts i'-ToJ^ • 



Angenommen, der Nenner unter dem Integralzeichen zerfalle in drei ungleiche Fak- 

 toren, sei also = сДі — ^^{i — ^.^){t — ji^), so folgt durch Zerlegung in einfache Brüche 



log P = log -f- log {i — [x^) log (г — [xj -f- Y, log {t — [x,) 

 und zugleich ist : 

 daher wird 

 so wie auch 



Mx-i-Ny = c^{y — ^^x) {y — ^^,^x){y—^^,^x). 

 Hiermit ergiebt sich : 



(aa;2 -i- bxy -i- cy'^) dx -t- (a^x^ -+- b^xy -t- y^) dy -\- Q [xdy — ydx) , 



[y — |ЛіЖ)і-Ті-ь9Ті . [у — ^^х)^-'Іг^ЧІ2.{у — іЛза;)і-Ѵз-«-ЗУз ' 



wo Q eine beliebige homogene Funktion vom Grade q bedeutet. Ein im Folgenden vor- 

 kommender Fall ist der, dass Q = const. =g ist, also q = Q. Man hat demnach 



(аж^ -+- bxy -+- cy-) dx -+- (a^x"^ -t- bixy -t- c^y-) dy -\- g [xdy — ydx) 



und zwar ist 



О = {y-^^x)\ [y-^ хУ2{у-^ xy 



\у-]^,^хУг \y-^^x)\ \xdy~ydx), 



