Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



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Zweite Abtheilung, 



enthaltend ^nwendung^en. 



§ 16. Es seien M und N nach cc und y ganze Polynome vom zweiten Grade, ohne 

 gemeinsamen Faktor; also 



M—a-+- a^x -+- a^y -+- а^зс' -i- a^xy -\- 



N = b -t- b^x b,,y b^x^ -+- b^xy -t- b^y^ 



und 



Mdx -H Ndy = 0. 



Auch wird angenommen, dass die Vorzalil von y^ in N, also &g, nicht gleich Null ist; 

 denn wäre in der ursprünghch gegebenen Gleichung 6^ = 0 , so bedürfte es nur einer 

 linearen Substitution, um in die verwandelte Gleichung das Glied y^dy' mit einer gültigen 

 Vorzahl einzuführen. Durch die Annahme, dass b^ von Null verschieden sei, entgeht man 

 der Nothwendigkeit einige besondere Fälle zu betrachten, welche mehr scheinbare als 

 wirkliche Ausnahmen bilden. Eine wirkliche Ausnahme ist jedoch in der That vorhanden, 

 denn in einem gewissen Falle bleibt b^ bei jeder linearen Substitution gleich Null; diese 

 wird also für jetzt ausgeschlossen und später untersucht werden. 



Wenn die vorgelegte Gleichung so beschaffen ist, dass ihr durch y=ax-t-^ Genüge 

 geschieht, so muss für jedes x sein: 



ач- а X а {oLX -н ß) -t- а x"^ -+- а х [ах -ь ß) -н а (оіх -+- ß)' 



folglich : 



[b H- b^x -+- 6., {oLx -4- ß) H- b.^x'^ -h- b^x {cLx H- ß) -H 6g {oLx H- ßf ] a = 0 ; 

 Яд -t- a^a -I- a^a? -н (63 -н а -i- b^c^) а = 0 



-f- a^a н- a^ß -+- 2 a^aß и- (6^ -+- b^a -+- 6^ß -+- 2 6g aß) а = 0 



а -H «gß^ -H (6 H- ö^ß H- 6gßV = 0. 



Die erste dieser Gleichuiigen, nämhch: 



ögÄ^ H- (6^ йд) -i- (6g a^) a -b cfg = 0 



giebt drei "Werthe für a; sie seien a^, a^, a^. Die zweite Gleichung bestimmt das jedem a 

 zugeordnete ß; es ist : 



n 63 ot- H- (6j -H Oo) a -H Oj 



^ 2 65 «2 -+-(64 -»-205) a -ьа^' 



woraus für a=:a^, ß^, für а = ß^ u. s. f. gefunden wird. Endlich giebt die dritte 



