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Dr. Ferd. Minding, 



Gleichung, da sie für jedes Paar zusammengehöriger Werthe von a und ß bestehen muss, 

 folgende drei Bedingungen : 



fl -t- 6a, -t- aj, 6,a,ß, -+- aj,' -t- ö^a^ß^" = 0 



a -+- a j,^ -t- b^aj,^ -+- a^ß/ ^5 «-2^2'" = ^ 



a -H и- Ь.^а^^.^ ч- aj^^ н- 03a3ß3' = О , 



welche erfüllt werden müssen , wenn die Differentialgleichung drei lineare Lösungen wirk- 

 lich darbieten soll. 



Werden nun a, 6, 0,^, als unbekannt, alle übrigen а und 6 aber nebst der Summe 

 «2 -b 6, = с als gegeben betrachtet, so ist leicht zu sehen, dass in den obigen Gleichungen 

 а und ß nur durch bekannte Grössen ausgedrückt werden, da namentlich 6, und nicht 

 einzeln, sondern nur in der Summe b^ ч- im Zähler von ß vorkommen und diese Summe 

 с gegeben ist. Es sind demnach für die unbekannten a, 6, a,,, b^ vier Gleichungen ersten 

 Grades gegeben, nämlich die vorstehenden drei Bedingungen a-t- Ьа^ч- а^^^ч- = О, ... 

 und 6, = с. Da in jenen Bedingungen b^ nicht vorkommt, so findet man durch ihre 

 Auflösung a, 6, und dann b^ = с — а^. Dabei ergiebt sich als gemeinschaftlicher Nenner 

 der Werthe von a, 6, a^: 



А a,ß, — a,ß, -+- a^ßg — a3ß^ -1- a3ß, — a,ß3 



= (a, — (ß, — ß3) — (a, - аз) (ß, — ß^); 



man erhält also immer bestimmte Werthe, wenn nicht Д = 0 ist. 



Werden nun, wie früher, die linearen Lösungen durch y^, bezeichnet, so dass 

 = a,j7 H- ß, u. s. w. und wird {y — y^){y — y^){y — y^) = ^ gesetzt, so macht es einen 

 wesentlichen Unterschied, ob keines der Produkte ^'{y^) — {y^ — 2/2) (Уі — Уз): ФѴг^ '^Уз 

 ein Quadrat ist oder ob diese Bedingung nicht erfüllt wird. Im letzteren Falle, wenn also 

 wenigstens eines jener Produkte ein Quadrat ist, sieht man sogleich, dass es alle drei sein 

 müssen. Denn es sei г/, — у^ — ni^{x ч- 8)^ у^ — y^ = m^{x ч- Ь), also ^'y^= m^m^{x ч- f)f; 

 so ist auch 2/., — 2/3 durch хч-В theilbar, folglich sind auch ^'y,^ — (y,^ — У^){У2 — Уг^ ^^^^ 

 ф'?/з = (і/з — y^){y^ — у^) Quadrate. Also ist entweder keines jener Produkte ein Quadrat 

 oder sie sind es alle drei zugleich, und zwar findet, wie leicht zu sehen, der erstere oder 

 der letztere Fall statt, je nachdem Д nicht gleich Null oder Д = 0 ist. Denn es sei: 



2/ , — y., = (a, — (л; H- , 2/ , — г/з = (a, — аз) (л; H- ^3) , 



mithin 



3 ^к::іІ2 3 ^ ßi - ßa 



2 aj — ttj ' 3 ttj — ttj ' 



so wird für А = 0 auch ?)^ = S3 und mithin ^'y^ ein Quadrat; w^enn aber A von Null ver- 

 schieden ist, so ist auch von 83 verschieden, also ^'y^ kein Quadrat, und überhaupt 

 keines jener Produkte ein Quadrat. 



