Beiträge zur Integration der Differentialgleicbungen erster Ordnung. 



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Daher folgt : wenn die drei Wurzeln a^, a^, sämmtlich von einander verschieden 



N N N 



sind und Д nicht gleich Null ist, so sind die Quotienten =9^, -^ = q^^ ô/^ ~ 

 nothwendig constant und man hat : 



Mdx -\- Ndy _ d(y — У)) _^ d(y — y,) _^ d (y — y.^ 



Ф У — Уі У —Уг У — Уз ' 



Der Werth von 9^ ist : ^ ь,о.,^ ь,а,-^ь, 



und durch Vertauschung von mit und mit ergeben sich q.^ und q^. 



Wenn hingegen die vorgelegte Gleichung zwar drei lineare Lösungen mit drei un- 

 gleichen а hat, aber von solcher Beschaffenheit, dass Ä = 0 ist, so nimmt ihr integrirender 

 Faktor eine andere Gestalt an, die jedoch immer mit jenen Lösungen in unmittelbarem 

 Zusammenhang steht. Um die Rechnung möglichst zu vereinfachen, ist es zweckmässig 

 eine Substitution anzuwenden, wodurch die vorhandenen Lösungen auf die Form «/^ = 0, 

 y^ = x, 2/3 = аж H- ß gebracht werden. Da nämlich nach der Voraussetzung folgende drei 

 Lösungen stattfanden: y^ = (i^x -t- y^ = a^x -t- 1^^, y^— a^x -ъ- und da keine der Dif- 

 ferenzen — a^, — a^, a,, — gleich Null war, so denke man sich in die Gleichung 

 Mdx -+- Ndy — 0 die neuen Argumente и und v eingeführt mittels der Gleichungen : 



oder 



und zwar sei 

 also 



y = yv4-y^, х = ич~Ь 

 х = п-і-Ь, у = a^u -t- -t- а^Ь ч- 



X = u-+- 0, у = a^u -i- yv -h- ^-^' ^ ^ . 



Nun sei für y = y^^ « = ; für y = y^, v = v^; für у=у^у v = v^; so erhält man sofort : 

 ï^2 = У2—Уі = (а,— а^)л; H- ß^ — ^^ = y{x — b) = ум, 



also 



Т^з = 2/3 — î/i = к — к — °^^)^ -^- — ßi' 

 oder wenn gesetzt wird : 



^^2^ = ^Л%- (ßs - ßi) - (^3 - ^1) (ß. - ß.) = Д 



wie oben, endlich д 



(a,-ai)2 = ß' 



so folgt: 



Mémoires de l'Acad. Irap. des Sciences, Vllme Série. 



