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Die also umgestaltete Gleichung, worin die Grade der M und N nicht verändert sind, 

 hat nunmehr, wenn и und v wieder durch x und у ersetzt werden, die Lösungen = 0, 

 y^^ = x, î/g = H- ß, wo a weder gleich Null noch = 1 sein wird, da von nach der 

 Voraussetzung verschieden war. Sei nun, wie bisher, Mdœ-b-Ndy = 0 die Differential- 

 gleichung, und zwar: 



M = a -i- a^x -t- a,^y -i- a^x^ н- a^xy -+- a^y^ 

 N = b -t- b^x b^^y b^x^ -H b,xy H- î/^, 



also zur Abkürzung b^=\ angenommen, da der Fall b^ = 0 ausgeschlossen bleibt, so 

 müssen die Vorzahlen a und b folgende Bedingungen erfüllen, damit die obigen drei Lö- 

 sungen bestehen, nämlich: weil y = 0 der Differentialgleichung genügen soll, so muss 

 sein : a = 0, = 0, a^ = 0. Weil y — x ebenfalls genügen soll, so ist 



6 = 0, a, -H 6j -+- 6.^ = 0 , H- a^. H- 63 -t- 6^ -+- 1 = 0. 



Endlich weil auch ?/ = аж -+- ß eine Lösung sein soll , so folgt zuerst : 



(L H- (6^ -H Og) a H- 63 -4- = 0, 



und da a 1 eine Wurzel dieser Gleichung ist, so ergiebt sich für die andere : 

 a-i-l-i-6, H-a^=:0; daher auch a = a, ч- 6„. 



Sodann muss sein 



n 69 «2 -+- (6j -+- a^) а 



P 2 a2-H (6^ -1-2 05) а -1-04' 



oder wenn für 6, н-а^ vermöge der entsprechenden obigen Gleichung — b^ gesetzt und а 

 aus dem Nenner weggeschafft wird : 



? — В ' 



wo zur Abkürzung eingeführt ist : 



ß = (l-H6J(l-H6,,-i-a,) — 63. 



Endlich muss y^ auch noch die dritte Bedingung erfüllen, welche, da jetzt а = 0 und 

 6 = 0, nachstehende Gestalt annimmt : 



(a^ H- a^ß -f- b^oL H- aß) ß = 0. 



Die verwandelte Differentialgleichung ist daher folgende : 



Mdx -+- Ndy = 0 , 

 ^ = К ^ ~^ 2/j ^ = КУ b^xy -H b^y^, 



