Beiträge zur Iategration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



51 



und zwar : 



WOZU noch die für die dritte Lösung geltende Bedingung kommt, dass nämlich für 

 sein muss : 



(ö^ -H -f- -4- aß) ß = 0. 



Es soll nun gezeigt werden, dass der integrirende Divisor dieser Gleichung unter 

 allen Umständen durch ^ = y^i{y — xf2{y — ax — ß)S dargestellt werden kann. Dies 

 wird erwiesen sein, wenn es möghch ist, der am Schlüsse des § 10 entwickelten Bedin- 

 gungsgleichung, worin f'=:0 zu setzen ist, also der Gleichung: 



dx 1 \ 1 1 da; / 2 \ 2 2 dx / 



dy 



durch constante Werthe der e zu genügen. 



Man findet: G^ = a,jy a^y^-\- a^x -i- a_^^ H^ = y ч- у^ч- b^x ч- b^, woraus 6^, G^, 

 Н^, durch Vertauschung von y^ mit i/.,, hervorgehen. Ferner ist ?/| = 0, y^^ = x, 

 y^ = ax -i- daher wird obige Gleichung: 



(2«5 — K)y-^ («4 — 2b^)x^a^ — 6, = [а^г^ н- (й^ -+- 1 ) h- {a, ч- a) е^] y 

 («4 -ь «g -»- 6, -ь- 1 ) s.^ -t- {a^cL H- -4- a') x 



S^i ~^ (^2 ~^ h (s ~*~ ~^ ^sß ~^ '^ß) h 



Diese Gleichung kürzt sich nicht unerheblich ab, wenn man für e, setzt, also 



= 1 H- u. s. f. Vergleicht man sodann die in y multipHcirten Glieder beider Seiten 

 mit einander, ebenso die in x multiplicirten und die dann noch übrigen, so ergeben sich 

 für die <5 folgende Gleichungen : 



0 = 2 6.3 -t- 2 ö, -f- a„ -b- 6, 1 -4- ff, a -4- 6, a -H -H (S, -4- 8,, -f- a, 



-H âga) (ff,. H- 6J -1- §2 §3 



0= 6^ -f-2ff2-i- ö^H-ö^a-Hffgß-baß -+-(5, -4-â2-i-§3)ff2 



-i-(S,,-f-S3a)6.,-H83ß(ff,,-4-a). 



un ist 1 -ь a H- H- ffj. = 0; daher wird die erste Gleichung : 



(^. ^2 ^з) ^2 ^з^ = 0. 



