Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



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Aus der bisherigen Untersuchung ergiebt sich, dass die Gleichung Mdx-\-Ndy= 0, 



Ж = a 0,л; . . . . -+- я^.г/^, 6 -t- и- «/^, wenn sie drei lineare Lösungen, 



= а^л; -H ß^, u. s. f. mit drei verschiedenen а hat, immer durch Multiplication mit 

 {y — y^~^^-{y — y^~^'^-{y — y^~^^ integrabel wird; und zwar sind alle s der positiven 



Einheit gleich, wenn ^ = (x^^_^ — S^i ^^"^ ^^^^ verschieden ist; für Д = 0 aber 



erhalten sie andere, jedoch immer bestimmte endliche Werthe. 



Im Vorstehenden lag überall die Annahme zu Grunde, dass die gegebene Differential- 

 gleichung drei Hneare Lösungen mit drei verschiedenen а darbot ; es bleibt also noch zu 

 untersuchen, was erfolgt, wenn zwar drei verschiedene lineare Lösungen bestehen, aber 

 nicht alle drei а von einander verschieden sind. Man überzeugt sich jedoch leicht, dass, 

 wenn alle drei а einander gleich sein sollten, also a^^a^ — аз = а, die Differential- 

 gleichung auf die Form d{y — a.x) = 0 zurückkommen müsste, in so fern nämlich, wie 

 hier festgehalten werden muss, die ganzen Polynome M und iV den zweiten Grad nicht 

 übersteigen dürfen. Es bleibt also noch der Fall zu erwägen, dass a^ = a^, aber von a.^ 

 verschieden ist, so wie auch von ß.^ verschieden sein muss, damit drei verschiedene Lö- 

 sungen stattfinden. 



Sei also 1/^ = а^л; H- ßj, t/.^ = а^ж ß^, г/^ — а^л; -ь- ß^ und ß^ verschieden von ß,, so 

 wie ttg von a^. Setzt man у — y^ = v, (a^ — aja^-i-ßg — ß^==:M, so verwandelt sich die 

 Gleichung in eine andere, welche als Lösungen = 0, v^ = §^ — ß^ = ß, v^ = u darbietet, 

 und worin ß von Null verschieden ist. Eine Gleichung Mdx -н Ndy = 0, welcher durch 

 y^ = 0^ y^ = ^^ y^ = x genügt wird, während die ganzen Polynome M und N nur vom 

 zweiten Grade sind, muss folgende Gestalt haben: 



y{y — §)d^-^ [ipy -^qx-t- m ^){y — x) — x{x — ^)]dy=0; 



q, m sind willkürliche Constanten. 



Sei ^ = y^i.(y — ß)S . (г/ — a;)^3 , so findet man nach § 10, dass diese Form in der 

 That den integrirenden Faktor giebt, und zwar wird: 



e, = m, s,^ = —m—p — q, z^=2; 



also : 



y (y — ß) -t- [(py 4-qx-h- mß) (y — x) — œ (x — ß)j dy ,^ 



Von der Richtigkeit dieses Ergebnisses kann man sich auch so überzeugen : 

 Es sei : 



i# _ УІУ— ß) {py -t-qx-^- mß) (y — x) — x {x — ^ 



~ Ф ' ■'^ — Ф ' 



daher : 



dM Jf/^ — m ^ 1 -t- m-t- p -H j 2 \ 



dy \ У У — ? y—xj 



dx \{py -H qx -+- mß) (y — x) — x {x — ß) y — xj' 



