54 Dr. FeRD. BIlNDING, 



Die Gleichsetzung dieser Werthe giebt : 



[\ — m){y — ^)4r-{\^m^p^q)y — ''-y^f={q—p)y — {2q-^2)x 



-+- (1 — w)ß -H 2ру -л~2цх-^ 2wß— 



л 2 w (w — ß) — 2 ж (ж — ß) ^ „ „ Q 



und wegen — — ^ — - = 2y-+- 2x — 2ß: 



y — x 



{2 -i-p -+- q)y — (1 — wlß — {q — p)y — {2q-t- 2)x-t-{ \ — m)ß 



-f- 2py 4~ 2qx -t- 2m^ 

 -+- 2y -y- 2x — 2ß; identisch richtig. 

 Das Integral ü findet sich auf bekannte Weise. Es ist 



il = -L (i^ç) 



« 



Alles zusammengenommen folgt schliesslich, dass die Gleichung Mdx~i-Ndy = 0, 



M —- a a^x -h- H- а^у^, N = b -і- b^x -*-у^, wenn sie drei lineare Lösungen 



2/i> У21 У 2. ^^'^^' deren jede von jeder andern verschieden ist, immer durch Division mit 

 einem Ausdrucke von der Form {;y — y^^^ (y — y_^^^ (y — y^f^ integrabel wird. 



Wenn aber die im Eingange dieses Paragraphen entwickelten Bedingungen für das 

 Bestehen dreier linearer Lösungen so beschaffen sind, dass z. B. = und = ßg ge- 

 funden wird, so hat man in der That nur zwei Lösungen. Diese reichen zwar in gewissen 

 besonderen, übrigens gar nicht schwierigen Fällen zur Bildung des integrirenden Faktors 

 hin, wie z. B. auch die so eben vollzogene Integration für ß = 0 noch gilt; allgemein aber 

 sind sie nicht ausreichend. 



§ 17. Die im Vorigen festgehaltene Voraussetzung: b^ nicht = 0, erleidet eine Aus- 

 nahme, welche jedoch nur dann eintreten kann, wenn schon in der ursprünglichen Diffe- 

 rentialgleichung nicht allein 6^., sondern auch gleich Null war. Alsdann erhält man, 

 (tu -H ß)) für X und Y?f -4- 8v für у setzend : 



{a^xy -£- a,.y^) dx -+- (b^x^ -t- b^xy) dy ~ [a^u^ -+- a^uv a^v'^) dn 



s- (6g' 1/ H- 6^' UV -+- 6g' v^) dv 



und findet : 



(«Л -+- ^3) i% ^/.) ' V = ß^' 



War also neben = 0. 6,. = 0 auch noch н- 6g = 0 und 6,^ = 0, so behalten 

 und 6„ bei jeder linearen Substitution den Werth Null und es stellt sich als einzig mög- 

 liche hierher gehörige Ausnahme die von Jacobi untersuchte Gleichung dar, nämlich 

 Mdx H- Шу = 0 : 



