Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 55 



M = a a -+- a^y — b^xij — b^if, N = b b^x ч- b^y -t- b^x"^ b^xy, 



welche sich auch also schreiben lässt : 



{ач-а^х-і- a^ji) dx [b b^x -н b-,y) dy -»- {b,x -+- b^y) {xdy — ydx) = 0. 



Wird hier 3/ = ß eingesetzt, so braucht man nur auf die im Anfange des vorigen 

 Paragraphen allgemein entwickelten Formeln zurückzublicken, um zu ersehen, dass durch 

 das Verschwinden von a,, b^, -^-^3, die Gleichung für а sich unmittelbar erle- 



digt und nur die beiden andern übrig bleiben, nämlich: 



а -f- a^ß -H 6a H- 6.^aß — 6^ß"' = 0. 



Aus ersterer folgt : 



r. 62*^ Ч- (05 Ч- fcj) a -I- Oj 



und dieser Werth in die zweite gesetzt giebt für а die Gleichung : 



{a -+- 6a) (Ô3 -f- b, af -+- б^а) (63 -н b^a) [а^ -s- {а^ -н 6,) а б.^а^] 



=^ [«1 -1- (а^ 6,) а -ь 6,а^, 



welche vom dritten Grade ist, da die Glieder in a* einander tilgen. Sind a,, a^, ihre 

 Wurzeln, ßp ß^, ßg die jenen zugehörigen ß, und setzt man: 



so wird nach Entwickelung der symmetrischen Funktionen und passender Bestimmung 

 der Constante С, 4^ gefunden als eine rationale ganze f'unktion der sämmtlichen а und 6, 

 welche unter allen Umständen den integrirenden Divisor darstellt, so dass man hat: 



= da Dieses rfû verwandelt sich in dO. a н- 7/-——' 



Ф у — Уі ''^ У — У2 ^ У — Уі 



wenn überhaupt jede der drei Lösungen г/,, у^, von jeder andern verschieden ist. Dabei 

 sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem sich unter den а zwei gleiche belinden oder 

 nicht. Sind gleiche а nicht vorhanden, so erhält man: 



63-4-6401^ 634-640(2 63-1-640(3 



es ist jedoch zu bemerken, dass es nur auf die Verhältnisse zwischen den q, nicht aber 

 auf die Werthe dieser Grössen selbst ankommt. 



Sollen zwei а einander gleich, aber die zugehörigen ß von einander verschieden sein, 

 so kann dieser Fall nur dann eintreten, wenn der Nenner Ь^ч-Ь^а. von ß im Zähler (ohne 



Rest) aufgeht. Alsdann erhält man: a^ = a^:= — ~ und für die zugehörigen ß eine Gleichung 



